Эк. Кибернетика.
Игра – матем. Модель конфликтной ситуации.
Стратегия игрока – это правила выбора действий в сложившейся ситуации.
Решение игры – это нахождение оптимальной стратегии для каждого игрока,
т.е. нахождение цены игры.
Оптимальная стратегия игрока – это стратегия, которая в среднем (настрив.
на длительную игру) дает игроку возможный наибольший выигрыш.
Неонтогонистическая – если выигрыш одной из сторон склад. из проигрыша др.
стороны, иначе антогонистическая – выигрыш одного равен проигрышу др.
Матричные игры.
— самые простые игры. Играют 2 чел. У каж конечное число стратегий. Список
стратегий известен каж играющему, т.е. игра с полной инф. Игра одноходовая.Величина выигрыша известна заранее, опис. В числовых единицах. Оба дейст.
Сознательны, никто не поддается. Игра яв-ся антогонистической. Правила
определяют победителя.
Игры с седловой точкой обладают св-м устойчивости – если один игрок примен
оптим стратегию, то др. игроку не выгодно отклон-ся от своей оптим
стратегии.
Первонач сведен по т. вероятности.
Случайные событие – это событие, которое может произойти или не произойти в
данной ситуации.
Вероятность – это количественная характеристика, мера появ-я событий.
P(А)=(число благопр. событий)/(общее число событий).
М(х)=(i хipi – матем. ожидание.
D(x)=(i х2ipi – (M(x))2 – дисперсия.
((x)=(D(x) – средне квадратичное отклонение – показывает степень
разбросанности значений случайной величины относительно матем. ожидания.
Правило 3 сигм (():
P(M(x)-3((x)<x<M(x)+3((x)(= 0,997
(Вероятность того, что сличайная величина х попадает в интервал с концами
матем. ожидания -3((х) и +3((х) равняется 0,997.
Многоуголь. распределение – ломанная линия соед-я последовательно точки с
коор-ми (хi;pi).
Смешанные стратегии.
— распределение вероятностей на множестве его чистых стратегий, обобщение
обычной стратегии.
Чистая стратегия – это стратегия, которая применяется с вероятностью 1.
Теорема Неймана: Любая матричная игра имеет оптимальное решение возможно
среди смешанных стратегий.
Стратегия Аi активная первого игрока – если вероятность исполь-я в оптим
стратегии больше нуля (Аi-акт, если р*i>0); S*A- оптим стратегия.
Стратегия Вj активная второго игрока – если вероятность исполь-я ее в опти
стратегии больше нуля (Bi-акт, если q*i>0); S*B — оптим стратегия.
Неактивная стратегия – вероятность применения, которой в оптим стратегии
равна нулю.
Теорема устойчивости: Если один игрок применяет свою оптим стратегию, то 2
игроку не выгодно выходить за рамки своих активных стратегий.
Теорема: В матр. игре количество активных стратегий у каж игрока
одинаковое.
Применение решений в усл. неопределенности.
Рассмотрим игру человек и природа. Человек – лицо принимающее решение.
Природа – экон-я среда в состоянии рынка.
Отличия от матричной игры: Активные решения принимает только чел, он хочет
найти наиболее оптим решение. У природы стихийное поведение и она не
стремится к выигрышу. Считается, что чел знает список сост природы, но не
знает какое из них будет фактическим. В игре с природой чел труднее сделать
свой выбор, поэтому сущ несколько подходов нахождения оптимального решения.
Подход определяется склонностью чел к риску.
Риск – это может быть упущенная выгода или необход понести дополнит произв-
е затраты.
Элементы матрицы – это ожидание резуль. Деятельности в завис от сост
природы.
1) Подход махмах “оптимистический”: В каж точке мы находим макс элемент и
после этого находим макс из полученных чисел. (i=maxj aij((=maxi(i=(i0( выб
Аi0.
Выбираем макс значение. Чел ориентир на самый лучший возмож результат, не
обращ внимание на возмож неудачи.
2) Критерий Вальда – критерий пессимизма: Находим в каж строчке миним
элемент и выбираем ту стратегию, которая дает макс гарантируемый доход.
(i=minj aij((=maxi (i=(i ( выб Аi0.
3)Критерий Гурвица (() – ур пессимизма: Человек выбирает 0(((1. Находим
число (i=((i+(1-()(i ((maxi(i=(i0 (выб Аi0. Если (=1 – кр Вальда
(пессимизма), если (=0 – кр оптимизма. Конкретная величина ( опред-ся эк-
ой ситуацией.
4) Критерий Сэвиджа – кр минимального риска: Состав март риска по формуле
rij=(j-аij. (ij=max aij ( rij=(j-aij.
R=(rij) –матр риска; ri=maxj rij( mini ri=ri0 ( выб Аi0.
Если бы мы знали, то мы бы выбрали наиболее эф-е решение. Для самого эф-го
решения: rij=0 (если Пj) ( Аi. Риск = величине упущенной возможности.У каж критерия есть свои особенности применения. Если мы оценив ситуацию
по разным критериям, то мы можем принять более обоснован решение. Трудность
обоснования яв-ся, что природа не стремится к выигрышу.
Принятие решения в усл риска.
Рассотрим вариант игры чел и природы в случаи, когда нам известно сост
природы. Природа к выигрышу не стремится. Находим стратегию, которая
приносит макс средний доход. Средний доход расчитывается по правилу теории
вероятности.
Величина среднего дохода равна матем ожиданию при этой стратегии.
1) М(Ai)=n(j=1aijpj Находим макс maxi M(Ai)
2) Правило минималь среднего риска. R=(Ai)=n(j=1rijpj. Находим наимень mini
R(Ai).
Лемма: Указ выше 2 критерия в результате всегда приводят к выбору одной и
той же оптим стратегии.
Док-во: Найдем миним сред риска mini R(Ai)= mini (jrijpj= mini ((j((j-
аij)pj)= mini ((j(j pj-(jаijpj)=((j(j pj – не зависит от переменной i,
значит это const С(= mini (С-(jаijpj)( минимум разности соот-ет максимуму
вычитаемого.
maxi (jаijpj=M(Ai).
Номера стратегий, на которых достиг миним среднего риска, равны номерам
стратегий обеспеч наиболь средний выигрыш.
Бейссовский подход нахождения оптимального решения.
Бейсовский подход: Если первонач распредел вероятности мы получ доход (Q(.
Если мы можем провести эксперемент дающий новое распред вероятности в завис
от первонач (Q(и нового (Q’ , мы делаем свой выбор стратегии. p'((Q’(.
Некоторые св-ва матричной игры.
Замеч№1 О масштабе игр: Пусть даны 2 игры одинаковой размерности с
платежной матрицей р(1) и р(2). При чем при любых i и j выпол
(а(2)ij=(a(1)ij+(), некоторые числа ( и (. Тогда: 1) опт стратегии 1 игрока
в 1 и 2 игре одинаковые. Опт стратегии 2 игрока одинаковы в обеих играх.
2) Цена второй игры V2=(V1+(.
Для некот методов решений все элементы матр должны быть не отрицательными.
Заме№2 О доминировании стратегий: Этот прием применяется для умень
размерности игры.
А: Аi доминирует над Ак (Аi>Ак), если для любого j выпол нерав-во аij>akj и
хотя бы одно из этих нерав-в строгое.
Ак – заведомо невыгодна; сред размер выигрыша меньше; р*к=0, стратегия
пассивная.
В: Вj доминирует над Вt (Вj>Вt), если для любого i выпол нерав-во аij>ait и
хотя бы одно из этих нерав-в строгое.
Bt – невыгодна ( q*t=0 – актив стратегия.
Доминир стратегии вычеркиваются и получ матр меньшей размерностью.
Замеч№3 Сравнение операций по методу Парето: Допустим есть операции Q1,
Q2,… Qn. Для каж опер-и расчит 2 параметра: 1) E(Q) – эффективность
(доход);
2) r(Q) – степень риска ((-сред квадратич отклон).
Самая лучшая операция – это опер с наилуч эф-ю и с наимень риском.
F(Q)=(E(Q)-r(Q), где ( — это склонность к риску (не мат проблема). Находим
макс из этих критериев maxi F(Qi). Операция Qi>Q, если эф-ть не менее
E(Qi)(E(Qj), а риск опер r(Qi)(r(Qj) и хотя бы одно из нерав-в строгое.
Доминир страт отбрас, как заведомо невыгодные.
Множ Парето – это все недоминир-е операции. Наиболее эф-е среди них.
Понятие о позиционных игр.
У каж игрока своя платежная матрица. Выигрыш одного не означ проигр др.
Таким способом можно высчитывать взаимные интересы игроков, а также
возможность образования коалиции. Можно расчит динамические игры учитывая
фактор времени и т.д.
Позиционные игры –возникает в случаи, когда надо принимать последо-но
несколько решений, при чем выбор решения опираются на предыдущ-е решения.
Рассотрим простейш случ позиц-й игры с природой. Решение изобр в виде
дерева решений.
Дерево решений – граф-е изобр-е всех возможных альтернатив игрока и сост
природы с указ вероятности соответ-х состояний и размеров выигрыша в каж
ситуации.
Альтернатива игрока изобр квадратом – список возможных стратегий в соот-й
ситуации. Сост-е природы кружочком, чел на них влиять не может. Делается
оценка каж вершины и наход макс оценка ситуаций соот-х каж ветви дерева
решений.
EMV – денежное решение; EMV=(i(отдача в i-ом сост-и)pi
maxвершина (EMV)=?
