Для вирішення задачі лінейного програмування, потрібно записати вихідну
задачу в формі задачі лінейного програмування, а потім застосовувати
симплекс-метод . Основною задачею лінійного програмування – задача для
якої:
1. потрібно визначити максимальне значення ф-ції
2. всі обмеження записані в вигляді рівностей
3. для всіх змінних виконується умова невідємності
Якщо обмеження має вид нерівності зі знаком >=, то шляхом множення його на
(-1) переходять до нерівності зі знаком <=.
Від обмежень нерівностей необхідно перейти до обмежень рівностей. Такий
перехід виконується шляхом введення в ліву частину кожної нерівності
додаткових незалежних невідємних змінних. При цьому знак нерівності міняють
на знак рівності.
Вихідне завдання:
F = 5х1 +6х2 max
-10×1 — 6×2 (-60
-4×1 + 9×2 ( 36
4×1 — 2×2 ( 8
x1,x2(0 x1,x2-цілі числаОсновна задача:
F = 5х1 +6х2 max10×1 + 6×2 + х3 =60
-4×1 + 9×2 +х4= 36
4×1 — 2×2 +х5 = 8x1,x2,x3,x4,x5 (0 x1,x2-цілі числа
Кожній змінній в системі відповідає свій вектор – стовпець. Вектор –
стовпець Ро складається із значень правих частин рівнянь і називається
вектором вільних членів.
Виходячи з основного завдання, складаєм симплекс-таблицю.
№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 | |1 |Р3 |0 |60 |10 |6 |1 |0 |0
| |2 |Р4 |0 |36 |-4 |9 |0 |1 |0 | |3 |Р5 |0 |8 |4 |-2 |0 |0 |1 | |4 |F | |0
|-5 |-6 |0 |0 |0 | |Таблиця № 1 – Вихідна симплекс-таблицяЗнаходження оптимального розвязку ЗЛП за допмогою с-м включає слідуючі
етапи:
1. За вихідною с-т знаходять опорне рішення
Кожній с-т відповідає своє опорне рішення. Воно може бути представлене
у вигляди вектора Х Розмірніст вектора дорівнює кількості змінних в
основній задачі.
Кожній змінній в симплекс таблиці відповідає свій вектор. Змінній
x1—вектор Р1 і т.д.
Вектор Р0 складений із вільних членів рівнянь. Кожний рядок симплекс-
таблиці – рівняння відповідно. Четвертий рядок—рядок оцінок в ньому
записують коефіцієнти при змінних в цільовій ф-ції з протилежним знаком і
визначається розв’язуємий стовпець, беруться модулі від’ємних чисел з цієї
строки. В векторі Х кожній змінній відповідає певна компонента. Змінній х1
перша компонента змінній х2—друга. Значення компонент визначають слідуючим
чином, якщо вектор базисний, то компонента дорівнює значенню компоненти
вектора стовпця Р0 з того рідка де в базисі стоїть 1.
У вихідній таблиці вектори Р1, Р2 – не базісні, тобто в Х – перша и друга
компоненти = 0
Х=(0;0;60;36;8)
2. Зясовують, мається хочаб одне відємне значення врядку оцінок ( рядок
4) Якщо нема – то план оптимальний, якщо є – треба переходити до
новій с-т.
Рядок оцінок має (-5) та (-6), отже данний опорний план – не оптимальний.
3. Знаходять визначальний стовпець. Стовпець називають визначальним,
якщо в рядку оцінок у нього найбільше за модулем значення. Маємо
стовпець Р2 |-6|>|-5|
4. Знаходимо визначальний рядок. Визанчальним назівається такий рядок,
який відповідає найменшому з відношень компонентів стовпця Ро до
додатніх компонентів визначального стовпця. (Рядок оцінок до уваги
не приймається)
Min = ( 60/6; 36/9) = 4 – рядок 2.
5. Будують наступну с-т .
Для цього кожний елемент таблиці перераховуємо за формулою
aij=aij- (аіk* аnj)/ank де k-номер розв’язувального стовпця, а n- номер
розв’язувального рядка
aij—елемент строки- і, стовпця- j нової сиплекс таблиці
aij—елемент строки- і, стовпця-j попередньої симплекс-таблиці
аіk— елемент що знаходиться у визначальному стовпці попер. с-т.
аnj— елемент що знаходиться у визначальному рядку попер с-т.
ank – элемент що стоїть на перехресті визн рядка и строки у попер сим-т.a10= 60 – (36*6)/9 = 36
a11= 10 +(6*4)/9 = 38/3
№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 | |1 |Р3 |0 |36 | |0 |0 |-1 1/5
|0 | |2 |Р2 |6 |4 |-4/9 |1 |1 |1/5 |0 | |3 |Р5 |0 |16 |28/9 |0 |0 |3/5 |1 |
|4 |F | |24 |-23/3 |0 |0 |1 1/5 |0 | |Таблиця № 2Х1=(0;4;36;0;16) F(X1) = 24
В рядку оцінок є одне відємне число. Тому Р1 – визначальний стовпець
Min = ( 36/38*3;16/4;9) = 54/19 – визначальний рядок Р3Таблиця № 3
№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 | |1 |Р1 |5 |54/19 |1 |0 |3/38 |-
1/19 |0 | |2 |Р2 |6 |100/19 |0 |1 |2/57 |5/57 |0 | |3 |Р5 |0 |136/19 |0 |0
|-14/57 |22/57 |1 | |4 |F | |870/19 |0 |0 |21/38 |5/19 |0 | |X3= (
54/19;100/19;0;0;136/19) F3(X3) = 45 15/19
В рядку оцінок нема відємних значень, тому даний опорний план є
оптимальним. Але не виконується умова цілочисельності, тому слід
застосувати відсічення по методу Гоморі.
2. Застосування і побудова відсічення по методу Гоморі
х1=54/19, х2=100/19
До системи обмежень основного завдання добавляємо ще одну нерівність виду:
F(a*ij)*xij>= F(b*ij), де a*ij і b*ij дробови частини чисел.
Під дробовою частиною числа а розуміють найменше невідємне число в і таке,
що а – в є цілим числом.Якщо в оптимальному плані вихідного завдання
дробового значення приймають декілька змінних, то додаткова нерівність
будується для змінної, в якої найбільша дробова частина.
F(x1)>F(x2) (16/19 >5/19)
-3/38х3-18/19х4 + х6 = -16/19
таблиця № 4
№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 | |1 |Р1 |5 |54/19 |1 |0
|3/38 |-1/19 |0 |0 | |2 |Р2 |6 |100/19 |0 |1 |2/57 |5/57 |0 |0 | |3 |Р5 |0
|136/19 |0 |0 |-14/57 |22/19 |1 |0 | |4 |Р6 |0 |-16/19 |0 |0 |-3/38 |-18/19
|0 |1 | |5 |F | |870/19 |0 |0 |23/38 |5/19 |0 |0 | |
Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19
Т.к. опорний план містить відємну змінну то треба застосувати подвійний
с. м.
3.
Відшукання розвязку ЗЛП подвійним с-м включає слідуючі етапи:
1. Знахдять опорне рішення
Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19
2. Перевіряють знайдений опорний розвязок на оптимальність.
Розвязок не оптимальний, тому слід перейти до нового опорного рішення.
3. Вибираемо визначальний рядок. Визначальним називається той, який
відповідає найбільшому за модулем відємному значенню в стовпцю Ро
Рядок № 4
4. Вибираємо визначальний стовпчик. Той, який відповідає найменшему
відношенню рядка оцінок до ньгого. (по модулю)
Min = (23/38*38/3;5/19*19/18) = 5/18 стовпець Р4Таблиця № 5
№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 | |1 |Р1 |5 |26/9 |1 |0
|1/12 |0 |0 |-1/18 | |2 |Р2 |6 |140/27 |0 |1 |1/36 |0 |0 |5/54 | |3 |Р5 |0
|1048/171 |0 |0 |-13/38 |0 |1 |11/9 | |4 |Р4 |0 |8/9 |0 |0 |1/12 |1 |0 |-
19/18 | |5 |F | |410/9 |0 |0 |7/12 |0 |0 |5/18 | |
Х5= (26/9;140/27;0;0;8/9;1048/171) F5 = 45 5/9
F(x1) = f ( 2 8/9) = 8/9
F (x2) = f ( 5 5/27) = 5/27-1/12х3 – 17/18х6 + х7 = -8/9
таблица № 6
№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 |Р7 | |1 |Р1 |5 |26/9 |1 |0
|1/12 |0 |0 |-1/18 |0 | |2 |Р2 |6 |140/27 |0 |1 |1/36 |0 |0 |5/54 |0 | |3
|Р5 |0 |1048/171 |0 |0 |-13/38 |0 |1 |11/9 |0 | |4 |Р4 |0 |8/9 |0 |0 |1/12
|1 |0 |-19/18 |0 | |5 |Р7 |0 |-8/9 |0 |0 |-1/12 |0 |0 |-17/18 |1 | |6 |F |
|410/9 |0 |0 |7/12 |0 |0 |5/18 |0 | |Таблица № 7
№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 |Р7 | |1 |Р1 |5 |50/17 |1 |0
|3/34 |0 |0 |0 |-1/17 | |2 |Р2 |6 |260/51 |0 |1 |1/57 |0 |0 |0 |5/57 | |3
|Р5 |0 |1608/323 |0 |0 |-436/969 |0 |1 |0 |11/17 | |4 |Р4 |0 |32/17 |0 |0
|3/17 |1 |0 |0 |-19/17 | |5 |Р6 |0 |16/17 |0 |0 |3/34 |0 |0 |1 |-18/17 | |6
|F | |770/17 |0 |0 |19/34 |0 |0 |0 |5/17 | |
Х6= ( 50/17;260/51;0;32/17;1608/323;16/17) F6 = 45 5/17
Будуємо нове відсічення:
F(x1) = f(2 16/17) = f(16/17) = 16/17
F(x2) = f (5 5/51) = f(5/51) = 5/51
F(x1)> F(x2)-3/34×3 – 16/17×7 + x8 = -16/17
таблица №8
№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 |Р7 |Р8 | |1 |Р1 |5 |50/17
|1 |0 |3/34 |0 |0 |0 |-1/17 |0 | |2 |Р2 |6 |260/51 |0 |1 |1/57 |0 |0 |0
|5/57 |0 | |3 |Р5 |0 |1608/323 |0 |0 |-436/969 |0 |1 |0 |22/17 |0 | |4 |Р4
|0 |32/17 |0 |0 |3/17 |1 |0 |0 |-19/17 |0 | |5 |Р6 |6 |16/17 |0 |0 |3/34 |0
|0 |1 |-18/17 |0 | |6 |Р8 |0 |-16/17 |0 |0 |-3/34 |0 |0 |0 |-16/17 |1 | |7
|F | |770/17 |0 |0 |19/34 |0 |0 |0 |5/17 |0 | |Таблица №9
№ рядка |Базис |Сб |Р0 |Р1 |Р2 |Р3 |Р4 |Р5 |Р6 |Р7 |Р8 | |1 |Р1 |5 |3 |1 |0
|3/32 |0 |0 |0 |0 |0 | |2 |Р2 |6 |5 |0 |1 |1/96 |0 |0 |0 |0 |0 | |3 |Р5 |0
|70/19 |0 |0 |-521/912 |0 |1 |0 |0 |0 | |4 |Р4 |0 |3 |0 |0 |9/32 |1 |0 |0
|0 |0 | |5 |Р6 |0 |2 |0 |0 |3/16 |0 |0 |1 |0 |0 | |6 |Р7 |0 |1 |0 |0 |3/32
|0 |0 |0 |1 |1 | |7 |F | |45 |0 |0 |17/32 |0 |0 |0 |0 |0 | |
Х*=(3; 5) F*=454. Геометирчна интерпретація процесу розвязку.
Геометирчна интерпретація процесу розвязку дозволяє наглядно
проілюстровати процесс знаходження оптимального плану.
1) Будують прямі, рівняння яких отримують в результаті заміни в
обмеженнях знаків нерівностей на знаки =.
10×1 + 6×2 =60 (1)
-4×1 + 9×2 = 36 (2)
4×1 — 2×2 = 8 (3)
x1=0, (4)
x2=0 (5)
Графіком рівняння x1 = 0 є вісь ординат, x2 =0 – вісь абсцисс.
Графіки решти рівнянь будують так. Оскільки графіки – це прями, то
достатньо для кожного рівняння знайти дві точки, задовільнюючі йому, і
через них провести пряумю.
2) Визначають область допустимих значень.
Область допустимих значень знаходиться в перший чверті координат, т.к.
x1,x2(0 x1,x2-цілі числа
На коорд. Площині вибирають довільну точку і перевіряють виконання
тотожністів рівняннях-обмеженнях. Якщо тотожність вірна, то дана
нпівплощина – площина напівплощина допустимих рішень.
3) Будують радіус-вектор.10
М
4
(2)
6
-9
(3)
(1)
-4
10
В М
4
( I )
(2)
6
-9
(3)
(1)
-4
В точці В, що є оптимальною за даних умов, перетикаються (I) відсічення та
(1) обмеження. Знайдемо координати т.В-3х1 + 9х2 = 38 х1=26/9
т.В (26/9; 140/27)
10х1+ 6х2 = 60 х2=140/27 F ( B) = 45 5/9-1/12х3 – 17/18х6 = -8/9 – второе отсечение.
-1/12х3*(60 – 10х1- 6х2) – 17/18*(38 + 3х1 – 9х2) = -8/9
-2х1 + 9х2 = 40 – уравнение 2-го отсечения.
Х7= 40 + 2х1 — 9210
В М
С4
( II ) (I)
(2)
6
-9
2 16/17-20 (II) (3)
(1)
-4
10
В М
С
D
4
(III)( II ) (I)
(2)
6
-9
2 16/17-20 (II) (3)
(1)
-4
Уравнение третьего отсечения:
-3/34х3 – 16/17х7 = -16/17
х7 находится из 2 го ограничения
-3/34 * ( 60 – 10х1 – 6х2) – 16/17*(40 + 2х1 – 9х2) = -16/17
-х1 + 9х2 = 42 – ур. Третьего отсечения
В т. D пересекаются (1) и (III)
10х1 + 6х2 = 60
-х1 + 9х2 = 42х1=3; х2=5. F(D)=45
т.D (3;5)Вывод:
экономико-матем. модел. испольузется в экономике для решения различного
рода заданий, для оптимизации их. В данной к.р. использованы симплекс
метод,….. отсечения Гомори, двойной симплекс метод. Геометрическая
интерпретация показывает весь ход решения.Список використаної літератури:
1. Кузнецов Ю.Н. “Математическое програмирование:(учебное пособие для
экономических специальностей ”
2. Оптимізація єкономічних показників з врахуванням умови
цілочисленності: “Методичні вказівки до виконання курсової роботи з
дисципліни “Економіко математичне моделювання для студентів
економічних спеціальностей”(Викладач Іванов Л.П. –Чернігів: ЧТІ,1998-
20с)”————————
938/3
-38/3
-38/3
