При [pic] — корни вещественные
                            [pic]
                                  [pic]
      Сумма двух экспонент представляет собой:
                                    [pic]
					







      Если  [pic],  то  корни   комплексно-сопряженные   и   решение   будет
представлять собой периодическую функцию. В реальной  системе,  переключений
не более 5 — 6.
                      3. Метод поверхности переключений
            Данный  метод  позволяет  найти  управление  функций  переменной
      состояния для  случая  когда  оптимальное  управление  носит  релейный
      характер
                                   [pic].
      Таким  образом  этот  метод  можно   применять   при   решении   задач
      оптимального быстродействия, для объекта с аддитивным управлением
                                   [pic],
                                   [pic].
            Суть метода  заключается  в  том,  чтобы  во  всём  пространстве
      состояний выделить точки, где  происходит  смена  знака  управления  и
      объединить их в общую поверхность переключений.
                                   [pic],
      [pic] — поверхность переключений
                                   [pic].
      Закон управления будет иметь следующий вид
                                   [pic].
      Для формирования поверхности переключений удобнее рассматривать
      переход из произвольной начальной точки в начало координат
                                   [pic].
      Если конечная точка не совпадает с началом  координат,  то  необходимо
      выбрать новые переменные, для которых это условие будет справедливо.
            Имеем объект вида
                                   [pic].
      Рассматриваем переход [pic], с критерием оптимальности
                                   [pic].
      Этот критерий позволяет найти закон управления такого вида
                                   [pic],
      с неизвестным [pic], начальные условия [pic] нам также неизвестны.
      Рассматриваем переход:
                                    [pic]
                           Метод обратного времени
                         (метод попятного движения)
            Этот метод позволяет определить поверхности переключений.
           Суть метода заключается в том, что начальная  и  конечная  точки
      меняются местами, при этом вместо двух совокупностей начальных условий
      остаётся одна для [pic].
           Каждая из этих  траекторий  будет  оптимальна.  Сначала  находим
      точки, где управление меняет знак и объединяем  их  в  поверхность,  а
      затем направление движения меняем на противоположное.
                           [pic]
                                   Пример
      Передаточная функция объекта имеет вид
                                   [pic].
      Критерий оптимальности быстродействия
                                    [pic]
      Ограничение на управление [pic].
      Рассмотрим переход
                                   [pic].
      1)
                                   [pic],
      2)
                                   [pic].
      3)
                                    [pic]
оптимальное управление будет иметь релейный характер
                                   [pic].
      4) Перейдём в обратное время (т.е. [pic]). В обратном  времени  задача
будет иметь такой вид
                                   [pic].
      5) Рассмотрим два случая:
     1. [pic]
Получим уравнения замкнутой системы
                                   [pic].
       Воспользуемся  методом  непосредственного   интегрирования,   получим
зависимость [pic] от [pic] и поскольку [pic]-[pic], то имеем
                                   [pic],
т.к. начальные и конечные точки поменяли местами, то [pic], [pic] получим
                                                               [pic],
                                               (*)
аналогично
                                    [pic]
                                    [pic]
подставив (*), получим
                                     [pic],
отсюда
                                        [pic].
Построим получившееся и по методу фазовой плоскости определим направление
                                    [pic]
2. [pic]
                                    [pic]
Применив метод непосредственного интегрирования, получим:
                           [pic]   [pic]    [pic],
                            [pic]  [pic]  [pic],
                                   [pic].
Функция будет иметь вид:
                                    [pic]
Изменив направление
                                    [pic]
                                                              точка    смены
знака
                                                                      (точка
переключения)
      Общее аналитическое выражение:
                                   [pic].
      Уравнение поверхности:
                                   [pic].
      Оптимальный закон управления:
                                   [pic],
подставив уравнение поверхности, получим:
                                   [pic].
                         2.5. Субоптимальные системы
       Субоптимальные  системы  —  это  системы  близкие  по   свойствам   к
оптимальным
                                    [pic]
[pic]- характеризуется критерием оптимальности.
                                    [pic]
[pic] — абсолютная погрешность.
[pic]- относительная погрешность.
      Субоптимальным называют процесс  близкий  к  оптимальному  с  заданной
точностью.
      Субоптимальная система — система где  есть  хоть  один  субоптимальный
процесс.
Субоптимальные системы получаются в следующих случаях:
     1. при  аппроксимации  поверхности  переключений  (с  помощью  кусочно-
        линейной аппроксимации, аппроксимация с помощью сплайнов);
      [pic]
      при  [pic]  в  субоптимальной  системе  будет  возникать   оптимальный
      процесс.
      [pic]
     2. ограничение рабочей области пространства состояний;
      [pic]
      [pic]