Методика побудови середньозважених
індексів. Взаємозв’язок індексів

Агрегатні індекси
кількісних та якісних показників можна перетворити у середньозважені індекси
— середньоарифметичний або середньогармонійний відповідно.
Середньозважений
індекс — це середній з індивідуальних індексів, зважених
на обсяги, що мають однакову розмірність та зафіксовані на незмінному рівні.
[1]
Середньозважені
індекси використовуються у тих випадках, коли відомі індивідуальні індекси
якісних або кількісних показників. По своїй суті ці індекси є середніми
зваженими величинами, у яких варіантами виступають значення індивідуальних
індексів досліджуваного показника.
Агрегатні індекси
кількісних показників можна перетворити у середньоарифметичні індекси наступним
чином[2]:
  
					







  
Отже,
середньоарифметичний індекс доцільно використовувати у тому випадку, якщо
відомі індивідуальні індекси кількісного показника і значення об’ємного
показника за базисний період. За своїм економічним змістом ці індекси
аналогічні агрегатним.
Приклад розрахунку
середньоарифметичного індексу посівних площ:






















Культури

Валовий збір у базисному році, ц
(y0S0) 

Зміна посівних площ порівняно з попереднім роком, %

Індивідуальні індекси посівних площ
(is) 



Пшениця
127900
+5
1,050


Жито
34400
 — 10
0,900


Ячмінь
20500
+16
1,160


Всього
182800
х
х




Середньоарифметичний
індекс посівних площ:
  
Отже, по трьох
культурах посівні площі зросли в середньому на 3,4%.
Агрегатні індекси
якісних показників можна перетворити у середньогармонійні індекси наступним
чином:
  
  
Середньогармонійні
індекси доцільно використовувати в тих випадках, коли відомі індивідуальні
індекси якісного показника і значення об’ємного показника у звітному періоді.
Приклад розрахунку
середньогармонійного індексу заробітної плати:






















Цехи

Фонд заробітної плати у звітному періоді, тис. грн.
(f1T1) 

Зміна рівня заробітної плати порівняно з базисним
періодом,%

Індивідуальні індекси заробітної плати (if)



№1
25,4
+15
1,150


№2
17,3
+7
1,070


№3
19,6
+25
1,250


Всього
62,3
х
х




Середньогармонійний
індекс заробітної плати:
  
Можна зробити
висновок, що у середньому по трьох цехах заробітна плати у звітному періоді
порівняно з базисним зросла на 15,6%.
На основі
середньозважених індексів також можна розрахувати приріст об’ємного показника
за рахунок індексованого, для чого від чисельника індексу необхідно відняти
його знаменник.
 Середньозважений індекс фізичного обсягу визначають за формулою середньої арифметичної зваженої 
  





шляхом аналогічних перетворень умовного
товарообороту

  

з тотожного агрегатного індексу




  








через відповідні індивідуальні індекси

  

Оскільки

  

, тo

  . 





Абсолютна зміна
індексованої величини визначається за схемою, аналогічною щодо агрегатних
індексів.
Приклад розрахунку
середньозважених індексів цін та кількості проданих акцій на фондовому ринку
наведений у табл.1
Таблиця 1
































Ринок
Обсяг торгів, млн. гр. од.
Темп приросту,%

  


  




базисний період  


поточний період  

цін на акції
кількості акцій


Первинний
80
190
+90
+35
1,9
1,35


Вторинний
40
120
+150
+20
2,5
1, 20


Разом
120
310
Х
Х
Х
Х




Середньозважений
індекс цін становить: 
  
отже, в цілому по
фондовому ринку ціни на акції у поточному періоді порівняно з базисним зросли у
середньому в 2,09 рази.
Середньозважений
індекс кількості проданих акцій дорівнює: [3]
  
тож кількість
проданих акцій в середньому зросла на 30%
Існує
взаємозв’язок між індивідуальними індексами, який полягає в тому, що:
добуток ланцюгових
індексів дорівнює базисному;
частка від ділення
базисних індексів дорівнює ланцюговому індексу.
Взаємозв’язок між
загальними індексами:
1) Добуток загальних індексів цін і фізичного обсягу дорівнює індексу
вартості;
2) Взаємозв’язок між індексами постійного перемінного складу і структурних
зрушень полягає в тому, що добуток індексів з постійного складу і структурних
зрушень дорівнює індексу змінного складу.
Задача 9
Використовуючи
дані щодо реалізації ковбасних виробів, визначити відносні величини, які б
характеризували динаміку і структуру реалізації їх, співвідношення реалізації
окремих видів у кожному кварталі та структурні зрушення. Зробити висновки.
Таблиця 5.
























Вид ковбасних виробів
Обсяг реалізації за квартал, т.


Перший
Другий


I
350
404


II
200
180


III
160
143


IV
50
36


V
31
10


VI
9
7




Рішення:
Відносна величина
динаміки характеризує напрямок та інтенсивність зміни явища у часі,
розраховується співвідношенням значень показника за два періоди чи моменти часу.
При цьому базою порівняння може бути або попередній рівень, або
рівень, більш віддалений у часі.
За базу порівняння
візьмемо попередній рівень, тоді для виду ІІ: 200/350 =
0,57 або 57%, тобто обсяг реалізації зменшився на 43% (100% — 57%).
Відносна величина
структури характеризує склад, структуру сукупності за тією чи іншою ознакою,
обчислюється відношенням розміру складової частини до загального підсумку.
Відносні величини структури називають частками, сума їх становить 1 або 100%.
Спочатку
розрахуємо загальний обсяг реалізації по всім видам виробів, а потім будемо
зіставляти обсяг по кожному виробу із загальним обсягом.
Співвідношення між
окремими складовими сукупності є відносними величинами координації. Вони показують, скільки одиниць однієї частини сукупності припадає на 1
або 100 одиниць іншої, прийнятої за базу порівняння.
Розрахунок
відносних величин наведемо у таблиці: 










































































Вид ковбасних виробів
Обсяг реалізації за квартал, т.
Динаміка
Структура
Співвідношення реалізації


Перший
Дру-гий
Перший
Другий
Перший
Дру-гий
Перший
Другий


I
350
404
44%
52%
0,44
0,52


II
200
180
0,57
0,44
25%
23%
0,25
0,23


III
160
143
0,8
0,79
20%
18%
0, 20
0,18


IV
50
36
0,3
0,25
6%
5%
0,06
0,05


V
31
10
0,62
0,28
4%
1%
0,04
0,01


VI
9
7
0,29
0,7
1%
1%
0,01
0,01


Разом:
800
780
100
100
1
1




Індекс структурних
зрушень Id показує зміну середньої за рахунок зрушень в структурі сукупності:
  
За базу порівняння
по першому обсягу реалізації приймемо х0 = 350, а по другому — d0
= 404.
Id = (350 * 404 +
350 * 180 + 350 * 143 + 350 * 36 + 350 * 10 + 350 * 7) /
/ (350 * 404 + 350
* 404 + 350 * 404 + 350 * 404+ 350 * 404 + 350 * 404) =
0,32
Отже, перший обсяг
реалізації менший другого менший на 68% (100% — 32%).
Задача.
Запланований доход
від інвестицій по періодах має вигляд:
Таблиця 26
















Період


1
2
3
4
5
6


Доход, тис. грн.
12,0
44,0
72,0
96,0
158,0
190,0




Розрахувати
середній доход, темп росту доходу та середній темп його приросту.
Рішення:
Для розрахунку
середнього доходу скористуємося формулою середньоарифметичної простої:
  , де n —
кількість одиниць сукупності, x — окремі значення ознаки.
   тис. грн.
Темп зростання Тз
обчислюється як відношення зіставлюваного рівня з рівнем, прийнятим за базу
зіставлення, і показує в скільки разів (процентів) порівнюваний рівень більший
чи менший від базисного: Тз = Y — Yi — 1
За базу
зіставлення приймемо дані попереднього періоду (Yi — 1):
Період 2: 44/12 =
3,67
Період 3: 72/44 =
1,64
Період 4: 96/72 =
1,33
Період 5: 158/96 =
1,65
Період 6: 190/158
= 1,2
Темп приросту Тпр
визначається як відношення абсолютного приросту до абсолютного попереднього або
початкового рівня і показує, на скільки процентів порівнюваний рівень більший
або менший від рівня, взятого за базу порівняння: Тпр =  у / уу — 1
Період 2: (44 —
12) / 12 = 2,67
Період 3: (72 —
44) / 44 = 0,64
Період 4: (96 —
72) / 72 = 0,33
Період 5: (158 —
96) / 96 = 0,65
Період 6: (190 —
158) / 158 = 0,2


Задача.
Чисельність
населення району на початок року — 870,0 тис. чол. Середньорічна чисельність
чоловіків — 405,0 тис. чол. (45% усього населення). З середньорічної чисельності
жінок 30% — віком до 15 років, 36% — 15…49, 34% — віком 50 років і старші. За
рік коефіцієнт народжуваності становив 25  , коефіцієнт смертності — 10  , вибуло з
району 30 тис. чол.
обчислити
середньорічну чисельність контингенту жінок плідного віку;
визначити
коефіцієнт життєвості населення;
обчислити коефіцієнт
прибуття населення;
обчислити
коефіцієнт механічного приросту населення.
Рішення:
Якщо середньорічна чисельність
чоловіків — 45%, то жінок 55% (100 — 45), тоді 870,0 тис. чол. * 55% = 478,5
тис. чол. — середньорічна чисельність жінок.
Чисельність контингенту жінок
плідного віку — з 15 до 49 років складає 36%, тобто 478,5 * 36% = 172,26 тис.
чол.
Коефіцієнт
життєвості розраховується:
Kжит. = N * 1000/M
де N — число народжених в цьому
році; М — число померлих в цьому році.
Число народжених в цьому році:
(870 * 25) / 1000 = 21,75 тис.
чол.
Число померлих в цьому році:
(870 * 10) / 1000 = 8,7 тис.
чол.
Kжит. = 21,75 * 1000/8,7 = 2500
= 2,5  
Коефіцієнт
природного приросту (прибуття) населення розраховується за формулою:
K пр. прир. = (N-M) *1000/S =
Kнар. — Kсмерт.
K пр. прир. = 25  — 10  = 15  
Механічний приріст
населення дорівнює кількості, що приїхала мінус кількість, що виїхала. Цей
показник може бути і додатній і від’ємний, або дорівнювати 0.
Так як кількість, що приїхала,
нам за умовами задачі не відома, то для розрахунку візьмемо коефіцієнт природного
приросту:
(870 * 15) / 1000 — 30 тис. чол.
= 16,95 тис. чол.



Список використаної літератури

1. 
Горкавий В.К. Статистика: Підручник. — К.: Вища
школа, 1995. — 415с.
2. 
Єрина А.М., Кальян З.О. Теорія статистики:
Практикум. — К.: Товариство „Знання”, КОО, 1997.
3. 
Кулініч О.І. Теорія статистики: Підручник. — 2-ге
доп. і доопр. видання. — К.: Державне Центрально-Українське видавництво, 1996.
4. 
Общая теория статистики / Под ред. А. А. Спирина, О.Э.
Башиной. — М.: Финансы и статистика, 1995. — 296 с.
5. 
С.С. Герасименко та ін. Статистика: Підручник. — К:
КНЕУ, 1998. — 468с.
6. 
Статистика: Підручник / С.С. Герасименко, А.В. Головач, А.М. Єріна та ін. — К.: КНЕУ, 2000.
7. 
Статистический словарь / Под ред. Ю.А. Юркова. — М.:
Финстатинформ, 1996.
8. 
Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой.
— М.: Финансы и статистика, 2001. — 560 с.