Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики
3. Аналіз діючих підручників та тестів.
Порівняльна характеристика тем.
Останній час тема «Показникова і логарифмічна функція»
вивчається в середній школі за підручником під редакцією А.Н.Колмогорова.
На сьогоднішній день з’явився новий підручник авторами якого є М.І. Шкіль,
З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук, в якому данна тема вивчається дещо по іншому.
Проведемо порівняльну характеристику вивчення данної теми в згаданих
підручниках.Тема: «Показникова функція».
|Підручник під редакцією |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |
|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук |
|аналізу у 10-11 кл.» |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |
| |кл.» |
|(1 Показникова функція |(1 Поняття показникової функції. |
|n.1.Степінь з ірраціональним |n.1. Означення і графік |
|показником |показникової функції. |
|Фіксують додатнє число а і ставлять|Дається означення: Функція [pic], |
|кожному числу [pic] число [pic]. |де а>0, [pic] називається |
|Цим самим отримують числову функцію|показниковою (з основою а). |
|[pic], визначену на множені Q |Вивчення показникової функції |
|раціональних чисел. Зазначається, |починається з функції [pic], |
|що при а=1 функція [pic] стала, |потім розглядається [pic], |
|так як [pic] для будь-якого |будуються їхні графіки і |
|раціонального числа. |порівнюються. Далі розглядається |
|Будуються графіки функцій [pic] і |функція [pic]. Порівнюються графіки|
|[pic] і порівнюються. Далі |функції [pic] і [pic]. З графікив |
|описується як визначається число |зчитуються спільні властивості. |
|[pic] для ірраціональних [pic] при |Далі порівнюються графіки функцій |
|а>1, в загальних рисах. Аналогічно |[pic]([pic]) і [pic]([pic]). З |
|описується визначення числа [pic], |графіків зчитуються властивості |
|для [pic]. Крім цього вважають, що |функцій. |
|[pic] для будь-якого [pic] і | |
|[pic][pic]для [pic][pic][pic] | |
|n.2. Властивості показникової |n.2. Загальні властивості |
|функції. |показникової функції. |
|Означення: Функція, задана формулою|D(y)=R |
|[pic] (де a>0, [pic]), називається |[pic] |
|показниковою з основою а. |якщо x=0, показникова функція [pic]|
|Формулюються основні властивості: | |
|Область визначення множина R |Зазначені вище властивості |
|дійсних чисел. |доводяться, розглядаються всі |
|Область значень множина R+ всіх |можливі випадки. Далі наводяться |
|додатніх дійсних чисел. |властивості без доведення. |
|При [pic] функція зростає на всій |якщо [pic] [pic] і [pic] то [pic]. |
|числовій прямій; при [pic] функція |якщо [pic] і [pic], то якеб не було|
|спадає на множині R. |додатнє число N, існує, і до того ж|
|При будь-яких дійсних значеннях х і|єдине, таке значення х, що [pic] |
|у справедливі рівності | |
| | |
|[pic] | |
|[pic]; | |
|[pic] | |
|[pic] | |
|[pic]. | |
| |n.3. Властивості графіка |
| |показникової функції. |
| |Графік розміщений у верхній |
| |півплощині, тобто там де ординати |
| |додатні. |
| |Будь-яка пряма, паралельна осі 0Y, |
| |перетинає графік і до того ж тільки|
| |в одній точці. |
| |Крива проходить через точку (0;1), |
| |тобто коли х=0, функція чисельно |
| |дорівнює 1. |
| |З двох точок графіка вище розміщена|
| |та , яка лежить правіше, тобто в |
| |міру просування зліва на право він |
| |піднімається вгору. |
| |На графіку є точки, які лежать вище|
| |будь-якої прямої, паралельної осі |
| |0х. На графіку є точки, що лежать |
| |нижче будь-якої прямої, проведеної |
| |у верхнії півплощині паралельно осі|
| |Х. |
| |Будь-яка пряма, що паралельна осі Х|
| |і лежить у верхній півплощині, |
| |перетинає графік, і при чому в |
| |одній точці. |
| |n.4.Приклади застосування |
| |властивостей показникової функції. |
| |В цьому пункті наводяться приклади |
| |вправ на показникову функцію і |
| |варіанти їх розв’язування. |
| |n.5. Використання показникової |
| |функції під час вивчення явищ |
| |навколишнього середовища |
| |Задача про радіоактивний розпад. |
| |Задача про зміну атмосферного |
| |тиску. |
| |Задача про розмноження бактерій. |
| |Задача про вакуумування. |
| |Задача про приріст деревини. |
| |Всі запропоновані задачі наводяться|
| |з розв’язанням. |
| |n.6. Основні показникові |
| |тотожності. |
| |Для будь-яких дійсних значень х і у|
| |справедливі рівності: |
| |[pic] |
| |[pic]; |
| |[pic] |
| |[pic] |
| |[pic] |
|(2 Розв’язування показникових |(2 Розв’язування показникових |
|рівнянь і нерівностей. |рівнянь і нерівностей. |
|n.1. Рівняння. |n.1. Показникові рівняння. |
|Розглядається найпростіше |Показниковим називають рівняння, в |
|показникове рівняння [pic], [pic] і|яких невідоме входить лише до |
|[pic]. Кажуть, що у випадку [pic] |показників степенів при сталих |
|або [pic] рівняння не має |основах. Найпростішим рівнянням є |
|розв’язків. |[pic] [pic] і [pic][pic]. Говорять,|
|Нехай [pic]. Функція [pic] на |що загального методу розв’язування |
|проміжку [pic] зростає при [pic] |показникових рівнянь немає. |
|(спадає при [pic]) і набуває |Виділяють кілька типів показникових|
|додатних значень. Застосувавши |рівнянь і наводять схеми (приклади)|
|теорему про корінь, дістаємо, що |їх розв’язання. |
|рівняння при будь-якому [pic], |Найпоширеніший спосіб: зведення |
|[pic], має єдиний корінь. |обох частих показникового рівняння |
|Щоб його знайти треба [pic]подати |до спільної основи. Приклади. |
|у вигляді [pic]. Очевидно, що [pic]|Спеціальні способи розв’язання: |
|є розв’язком рівняння [pic] , |зведення до спільного показника. |
|демонструється на графіку функції. |А також показникове рівняння |
|Розглядається 4 приклади. |перетворюють відомими методами: |
| |заміни, зведення до квадратного |
| |рівняння, а потім вже |
| |використовують певну схему. |
|n.2. Нерівності і системи рівнянь. |n.2. Розв’язування нерівностей, які|
|Розв’язання найпростійших |містять показникову функцію. |
|показникових показникових |Найпростішими є нерівності виду |
|нерівностей грунтується на відомій |[pic]. Під час розв’язування |
|властивості функції [pic]; ця |використовують властивість |
|функція зростає, якщо [pic], і |монотонності показникової функції. |
|спадає, якщо [pic]. Розглядаються |І кажуть, що для [pic] |
|приклади. |розв’язування даної нерівності |
| |зведеться до розв’язування |
| |нерівності [pic], а для [pic] |
| |зводиться до розв’язування |
| |нерівності [pic]. Приклади |
| |розв’язання нерівностей. |Тема: «Логарифмічна функція».
|Підручник під редакцією |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |
|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук |
|аналізу у 10-11 кл.» |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |
| |кл.» |
|(1 Логарифми і їх властивості. |(1 Логарифми. |
|n.1.Логарифм. |n.1. Поняття логарифма. |
|Даэться означення: Логарифмом числа|Дається означення: Корінь рівняння |
|b за основою а називається |[pic], де a>0, a[pic]1, називають |
|показник степеня, до якого слід |логарифмом числа N за основою а. |
|піднести основу а, щоб отримати |Логарифмом числа N за основою а |
|число b. |(a>0, a[pic]1) називається показник|
|Тут же зазначається, що формулу |степеня х, до якого треба піднести |
|[pic] ( де b>0, a[pic]1) називають |а, щоб дістати число N. |
|основною логарифмічною тотожністю. |Далі наводиться логарифмічна |
| |рівність [pic] і показникова |
| |рівність [pic] і зазначається, що |
| |ці рівності визначають одне і теж |
| |співвідношення. Наводяться три |
| |основні задачі: |
| |Знайти число N за даним його |
| |логарифмом b і за основою а. |
| |Знайти основу а за даним числом N і|
| |його логарифмом b. |
| |Знайти логарифм від даного числа N |
| |за данною основою а. |
| |Далі наводять приклади. |
| |n.2. Основна логарифмічна |
| |тотожність. |
| |Розглядається показникова рівність|
| |[pic](1). За означенням логарифма |
| |[pic](2), [pic](3). Рівність (3) |
| |називається основною логарифмічною |
| |тотожністю. |
|n.2. Основні властивості логарифма.|n.3. Основні властивості логарифма.|
| | |
|Для будь-яких a>0 (a(1) і будь-яких|Т.1. Логарифм добутку двох додатних|
|додатніх х і у виконуються рівності|множників дорівнює сумі їх |
| |логарифмів, тобто [pic] де [pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |Т.2. Логарифм частки двох додатних |
|[pic] |чисел (дробу) дорівнює різниці |
|[pic] |логарифмів діленого і дільника |
|[pic] |(чисельника і знаменника), тобто |
|Далі наводиться формула переходу |[pic], де [pic] [pic] |
|від однієї основи логарифма до |Наслідок: Логарифм дробу, чисельник|
|іншої [pic] |якого дорівнює одиниці, дорівнює |
|Далі дається означення десяткового |логарифму знаменника взятого з |
|логарифма на описовому рівні: |протилежним знаком. |
|Десятковим називається логарифм за |Т.3. Логарифм степеня додатного |
|основою10 і позначається [pic]. Але|числа дорівнює показнику степеня, |
|більш конкретно на десяткових |помноженому на логарифм основи |
|логарифмах не зупиняються. |цього степеня, тобто [pic], де m — |
| |будь-яке число, [pic] |
| |Т.4. Логарифм кореня з додатного |
| |числа дорівнює логарифму |
| |підкореневого виразу, поділеного на|
| |показник кореня, тобто [pic] |
| |5. [pic] |
| |[pic] |
| |Всі властивості доводяться. |
| |n.4. Деякі важливі тотожності, що |
| |містять логарифми. |
| |[pic] |
| |[pic] |
| |[pic] |
| |Всі тотожності доводяться. |
| |n.5. Потенціювання |
| |Перетворення за допомогою якого за |
| |даним логарифмом числа (виразу) |
| |визначають саме число (вираз), |
| |називають потенціюванням. |
| |n.6. Перехід від однієї основи |
| |логарифма до іншої. |
| |Вводиться формула [pic] |
| |n.7. Натуральні логарифми з основою|
| |е називають натуральним, або |
| |неперовим. [pic] |
|(2 Логарифмічна функція |(2 Логарифмічна функція |
|Функція задана формулою [pic], |n.1. Поняття логарифмічної функції:|
|називається логарифмічною з основою| |
|а. |Функцію [pic], називають |
|Перечисляють основні властивості |логарифмічною функцією за основою а|
|цієї функції. Властивості |(a>0 ,a(1). Зазначається, що графік|
|аналогічні до перших трьох |функції [pic] можна дістати з |
|властивостей логарифмічної функції |графіка функції [pic], симетрично |
|наведені у підручнику Шкіля М.І. |відобразивши останній відносно |
|Далі зазначається, що графіки |прямої у=х. |
|показникової і логарифмічної, що | |
|мають однакову основу, симетричні |n.2. Властивості логарифмічної |
|відносно прямої у=х. Потім |функції. |
|розглядаються приклади застосування|Область визначення логарифмічної |
|властивостей логарифмічної функції.|функції множина всіх додатніх |
|На цьому вивчення теми логарифмічна|чисел. |
|функція в підручнику під редакцією |Область значень- множина всіх |
|Колмогорова закінчується. |дійсних чисел. |
| |Логарифмічна функція на всій |
| |області визначення R+ зростає, якщо|
| |a>1 і спадає, якщо 0<a<1. |
| |Для будь-якого a>0 (a(1) |
| |виконуються рівності |
| |[pic] |
| |[pic] |
| |[pic], якщо [pic] |
| |[pic], якщо [pic] |
| |для будь-якого [pic] і будь-якого |
| |p(R [pic] |
| |Далі розглядаються властивості для |
| |випадків [pic] і [pic]; властивості|
| |логарифмів чисел за основою [pic]; |
| |Властивості логарифмів чисел за |
| |основою [pic]. |
| |Наводяться приклади вправ та їх |
| |розв’язання. |
|(3 Розв’язування логарифмічних |(3 Розв’язування логарифмічних |
|рівнянь і нерівностей. |рівнянь і нерівностей. |
|Найпростіше логарифмічне рівняння |n.1. Логарифмічні рівняння. |
|[pic]. Логарифмічна функція |Приклади розв’язування |
|зростає (або спадає) на проміжку |логарифмічних рівнянь. |
|[pic] і набуває на цьому проміжку |Логарифмічними називають рівняння, |
|всіх дійсних значень |які містять змінну під знаком |
|(демонструється на графіку). За |логарифма. Найпростіше рівняння |
|теоремою про корінь звідси |[pic] де [pic] і [pic], [pic]- |
|випливає, що для будь-якого |будь-яке число. Воно має єдиний |
|[pic]дане рівняння має і притому |розв’язок [pic], який можна дістати|
|тільки один розв’язок. З означення |за допомогою потенціювання. |
|логарифма числа випливає, що [pic]і|Розв’язування рівняння [pic](1) |
|є таким розв’язком. Приклади. |рівносильно системі [pic], інакше |
| |кажучі рінвосильне кожній із |
| |змішаних систем [pic], [pic]. |
| |Тобто для розв’язування рівняння |
| |(1) досить розв’язати рвняння [pic]|
| |і його розв’язки підставити в |
| |систему нерівностей [pic], яка |
| |задає область визначення рівняння. |
| |Говориться і про можливість втрати |
| |коренів і появі стороніх коренів та|
| |розглядають це на прикладі. |
| |Розглядаються приклади |
| |розв’язування рівнянь різними |
| |способами (потенціювання, |
| |логарифмування). |
| |Розглядаються також |
| |показниково-логарифмічні рівнняня. |
|Логарифмічні нерівності та системи|n.2. Розв’язування систем |
|логарифмічних рівнянь і нерівностей|логарифмічних рівняннь. |
|розглядаються тільки на прикладах, |При розв’язуванні систем |
|і нічого про них не говориться. |логарифмічних рівнянь |
| |використовуються ті самі способи, |
| |що й при розв’язуванні алгебраїчних|
| |систем. |
| |n.3. Логарифмічні нерівності. |
| |Логарифмічні нерівності виду |
| |[pic](1). |
| |Кажуть, що якщо [pic], то (1) |
| |рівносильна системі [pic] |
| |а якщо [pic], то (1) рівносильна |
| |системі [pic]. |
| |Розв’язуються приклади. |Провівши порівняльну характеристику вивчення тем показникова і
логарифмічна функції в обох підручниках, можна зробити слідуючи висновки:
1. В обох підручниках тема «Показникова функція» і «Логарифмічна
функція» вивчаються на основі одних і тих понять.
2. Понятійний апарат більш ширший в новому підручнику під редакцією
М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у
10-11 кл.». В підручнику під редакцією А.Н.Колмогорова «Алгебра і
початки аналізу у 10-11 кл.» понятійний апарат дуже вузький. Тому
для глибокого і досконалого вивчення заданих тем бажано
використовувати новий підручник.
3. Більш строгий виклад теорії спостерігається в підручнику під
редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки
аналізу у 10-11 кл.». В ньому доводяться всі властивості і
розглядаються всі можливі випадки з доведенням. В підручнику А.Н.
Колмогорова у доведення властивостей не дуже заглиблюються. Детально
доводяться лише базові властивості. Все інше дається без доведення.
4. Розв’язування показникових, логарифмічних рівнянь і нерівностей
більш широко і доступно викладено в підручнику під редакцією
М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у
10-11 кл.» тому його бажано використовувати для більш поглибленого
вивчення даної теми.
В підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук
«Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» властивості і теореми
доводяться детальніше, тому він може бути використаний для
самостійного вивчення тем учнями.