Т.Сумма смежных углов = 180(
Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение
сторон друг.)
Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не
пересекаются.
Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно
провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.
Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.
2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.
Признаки параллельности прямых. Е
А В В А А ВС Д Д
Д С С
(ВАС (ДСА внутр. одностор. (1рис)
(ВАС (ДСА внутр. накрест лежащ. (2)
(ЕАВ (АСД соответств. (3)
Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. ( =, то
прямые параллельны.
Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,(прямые|
|.
Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. (1=(2
Но (1=(3 (вертикальные)((3=(2.Но (2 и (3-накрестлежщие.(По Т 1 a | | b(
Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност.
(=180(, то прямые | |(
Для ТТ 1-3 есть обратыные.
Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й
прямой, то внутр.накрестлеащие (=, со-
ответств.(=, сумма внутр.одност(=180(.
Перпедикулярные пр-е пересек-ся (90(.
1.Через кажд.тчку прямой можно провести ( ей прямую, и только 1.
2. Из любой тчки (( данной прямой) можно опустить перпендикуляр( на данную
прямцю и только 1.
3. две прямые ( 3-й параллельны.
4. Если прямая ( 1-й из | | прямых, то она ( и другой.
Многоугольник (n-угольник)
Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать
около окружности. (R- опис., r- впис.)
R = a / 2sin(180(/n); r = a / 2 tg (180()
Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждого( пересек. в 1 тчке (ортоцентр).
2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) — делит кажд. Медиану в
отн 2:1 (счит. От вершины).
3. Все 3 биссектр. ( пересек. в 1 тчке —
центр впис. Круга.
4. Все 3 (, восстановленные из середин сторон (, пересе. в 1 тчке — центр
опис. круга.
5. Средняя линия | | и = ( основания
H(опущ. на стор. a) = 2(p(p-a)(p-b)(p-c)
a
M(опущ на стор a) = ( ( 2b2+2c2 -a2
B (-‘’-)= 2( bcp(p-a) / b+c
p — полупериметр
a(=b(+c(-2bx, х-проекция 1-й из сторонПризнаки равенства (: 2(=, если = сотв.
1. 2 стороны и ( между ними.
2. 2 ( и сторона между ними.
3. 2 ( и сторона, противолеж. 1-му из (
4. три стороны
5. 2 стороны и ( , лежащий против большей из них.
Прямоугольный ( C=90( a(+b(=c(
NB! TgA= a/b; tgB =b/a;
sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c
Равносторонний ( H= (3 * a/2
S (= ( h a =( a b sin C
Параллелограмм
d(+d`(=2a(+ 2b(
S =h a=a b sinA(между а и b)
= ( d d` sinB (между d d`)
Трапеция S= (a+b) h/2 =(uvsinZ= Mh
Ромб S=a h =a(sinA= ( d d`
Окружность L= (Rn( / 180(,n(-центр(
Т.Впис.(= ( L , L-дуга,на ктрую опир(
S(cектора)= ( R((= (R(n( / 360(
Векторы.. Скалярное произведение
(а(b=|(a| |(b| cos ((a ((b),
|(a| |(b| — длина векторов
Скалярное произведение |(a|(x`; y`( и |(b|(x«; y«(, заданных своими
коорди-натами, =
|(a| |(b| = x` ( y` + x« ( y«
Преобразование фигур
1. Центр. Симметрия
2. Осевая симметрия (()
3. Симм. Отн-но плоскости (()
4. Гомотетия (точки Х О Х« лежат на 1 прямой и расст. ОХ«=k OX, k(0 —
это гомотетия отн-но О с коэфф. К .
5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)
6. Поворот
7. Вращение — вокруг оси — преобр. Пространства, когда:
— все точки оси переходят сами в себя
— любая точка А( оси р А(А` так, что
А и А` ( (, ((р, (АОА` = (= const, О- точка пересеч. ( и р.
Результвт 2-х движений= композиции.
8. Паралeн.перенос (x,y,z)((x+a,y=b,x=c)
9. Преобразование подобюием — расст. Между тчками измен-ся в k раз
К=1 — движение.
Св-ва подобия.
1. АВС((а); A`B`C` ((a`)
2. (p) ( (p`); [p)([p`); (((`; (A((A`
3. Не всякое подобие- гомотетия
NB! S` = k( S«; V ` = k 3 V «
Плоскости.
Т. Если прямая, ( к.-л. плоскости ( , | | к.-л. прямой, ( (, то она | | (
Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| |
(а)и (b)
T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й ( | | двум
пересек. прямым другой (, то ( | | (.
Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.
Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.
Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.
Т. Признак ( прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, (каждой из 2-х
перек-ся прямых, то прямая и пл-сть (.
Т. 2 ( к пл-сти | |.
Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых (, то и другая ( плоскости.
Т. Признак ( 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ( к др. п-сти, то он
( этой л-сти.
Дано [a)( (,[a) ((,( ((= (p).Д-ть: ( ( (
Док-во. [a)( (=(М. Проведем (b) через М, (b)((p). (a)((b) — линейный (
двугранного угла между ( и (. Так как [a)( (((a)((b)( (a)((b)=90((( ( ((
Т. Если 2 пл-сти взаимно (, то прямая
1-й пл-сти ( линии пересеч. пл-стей, ( 2-й пл-сти.
Т. О 3-х (.. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ( наклонной,
необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ( проекции наклонной.
Многогранники
Призма. V = S осн ( a — прямая призма
a — боковое ребро , S пс- S (-го сечения
V = S пс ( а — наклонная призма
V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма — параллелепипед.
V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc
S=2(ab+ac+bc)
Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех (.
Фигуры вращения
Цилиндр V=(R(H; S= 2(R (R+H)
Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * (R(H
S= Sосн+ Sбок= (R (r + L); L-образующая
Сфера «оболочка» S= 4(R(
Шар М= 4/3 (R3ARCSIN a
-(/2(arcsin a ((/2 sin(arcsin a)=a
arcsin (-a)= -arcsin a
|a |0|1/|(2|(3|1 |
| | |2 |/2|/2| |
|arcs|0|(/|(/|(/|(/|
|in a| |6 |4 |3 |2 |SIN X= A
x=(-1)n arcsin a +(k
|sin |x=(k |
|x=0 | |
|sin |x=(/2+2|
|x=1 |(k |
|sin |x=-(/2+|
|x=-1 |2(k |ARCCOS a
0 (arccos a (( cos(arccos a)=a
arccos (-a)=( -arccos a
|a |0 |1/|(2|(3|1|
| | |2 |/2|/2| |
|arcco|(/|(/|(/|(/|0|
|s a |2 |3 |4 |6 | |COS X= A
x=( arccos a +2(k
|cos |x=(/2+|
|x=0 |(k |
|cos |x=2(k |
|x=1 | |
|cos |x=(+2(|
|x=-1 |k |ARCTG a
-(/2(arctg a ((/2 tg(arctg a)=a
arctg (-a)= -arctg a
|a |0|(3|1 |(3|
| | |/3| | |
|tg|0|(/|(/|(/|
|a | |6 |4 |3 |TG X= A
x=( arctg a +(ksin(*cos(=1/2[sin((-()+sin((+()]
sin(*sin(=1/2[cos((-()-cos((+()]
cos(*cos(=1/2[cos((-()+cos((+b)]sin(*cos(=1/2[sin((-()+sin((+()]
sin(*sin(=1/2[cos((-()-cos((+()]
cos(*cos(=1/2[cos((-()+cos((+b)]
sin(+sin(=2sin((+()/2 * cos((-()/2
sin(-sin(=2sin((-()/2 * cos((+()/2
cos(+cos(=2cos((+()/2 * cos((-()/2
cos(-cos(=-2sin((+()/2 * sin((-()/2(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2+2ab+b2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
a2-b2=(a-b)(a+b)
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+ b2)|0 |(/6 |(/4 |(/3 |(/2 |( |2/3( |3/4( |5/6( |3/2( | | |0 |30( |45( |60(
|90( |180 |120( |135( |150( |270( | |sin |0 |1/2 |(2/2 |(3/2 |1 |0 |(3/2
|(2/2 |1/2 |-1 | |cos |1 |(3/2 |(2/2 |1/2 |0 |-1 |-1/2 |-(2/2 |-(3/2 |0 |
|tg |0 |1/(3 |1 |(3 |( |0 |-(3 |-1 |-1/(3 |( | |ctg |( |(3 |1 |1/(3 |0 |( |-
1/(3 |-1 |-(3 |0 | |sin2+cos2=1 sin=±(1-cos2 sin(-()=-sin( tg(-
()=-tg(
tg(ctg=1 cos=±(1-sin2 cos(-()=cos( ctg(-g)=-ctg(
tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2
sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2(=2sin((cos(
cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2(=cos2 (-sin2
(
cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin(cos tg2(=2tg(/1-tg(
cos((+()=cos((cos(-sin((sin( sin3(=3sin(-4sin3(
cos((-()=cos((cos(+sin((sin( cos3(=4cos3(-3cos(
sin((+()=sin((cos(+cos((sin( tg((+()=tg(+tg(
sin((-()=sin((cos(-cos((sin( 1-tg((tg(
2cos2(/2=1+cos( 2sin2(/2=1-cos(|0 |(/6 |(/4 |(/3 |(/2 |( |2/3( |3/4( |5/6( |3/2( | | |0 |30( |45( |60(
|90( |180 |120( |135( |150( |270( | |sin |0 |1/2 |(2/2 |(3/2 |1 |0 |(3/2
|(2/2 |1/2 |-1 | |cos |1 |(3/2 |(2/2 |1/2 |0 |-1 |-1/2 |-(2/2 |-(3/2 |0 |
|tg |0 |1/(3 |1 |(3 |( |0 |-(3 |-1 |-1/(3 |( | |ctg |( |(3 |1 |1/(3 |0 |( |-
1/(3 |-1 |-(3 |0 | |sin2+cos2=1 sin=±(1-cos2 sin(-()=-sin( tg(-
()=-tg(
tg(ctg=1 cos=±(1-sin2 cos(-()=cos( ctg(-g)=-ctg(
tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2
sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2(=2sin((cos(
cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2(=cos2 (-sin2 (
cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin(cos tg2(=2tg(/1-tg(
cos((+()=cos((cos(-sin((sin( sin3(=3sin(-4sin3(
cos((-()=cos((cos(+sin((sin( cos3(=4cos3(-3cos(
sin((+()=sin((cos(+cos((sin( tg((+()=tg(+tg(
sin((-()=sin((cos(-cos((sin( 1-tg((tg(sin(2(-()=-sin( sin(3(/2-()=-cos(
cos(2(-()=cos( cos(3(/2-()=-sin(
tg(2(-()=-tg( tg(3(/2-()=ctg(
sin((-()=sin( ctg(3(/2-()=tg(
cos((-()=-cos( sin(3(/2+()=-cos(
sin((+()=-sin( cos(3(/2+()=sin(
cos((+()=-cos( tg((/2+()=-ctg(
sin((/2-()=cos( ctg((/2+()=-tg(
cos((/2-()=sin( sin(+sin(=2sin((+()/2cos((-()/2
tg((/2-()=ctg( sin(-sin(=2sin((-()/2*cos((+()/2
ctg((/2-()=tg( cos(+cos(=2cos((+b)/2cos((-()/2
sin((/2+()=cos( cos(-cos(=-2sin((+b)/2sin((-()/2
cos((/2+()=-sin(Y = S I N x
1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[-1;1]
3).Периодическая с периодом 2(
4).Нечётная; sin (-x)=-sin x
5).Возрастает на отрезках [-(/2+2(k;(/2+2(k], k(Z
Убывает на отрезках [(/2+2(k;3(/2+2(k], k(Z
6).Наибольшее значение=1 при х=(/2+2(k, k(Z
Наименьшее значение=-1 при х=-(/2+2(k, k(Z
7).Ноли функции х=(k, k(Z
8).MAX значение=1 х=(/2+2(k, k(Z
MIN значение=-1 х=-(/2+(+2(k, k(Z
9).x>0 на отрезках [2(k;(+2(k], k(Z
x<0 на отрезках [(+2(k;2(+2(k], k(ZY = C O S x
1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[-1;1]
3).Периодическая с периодом 2(
4).Чётная; cos (-x)=cos x
5).Возрастает на отрезках [-(+2(k;2(k], k(Z
Убывает на отрезках [2(k;(+2(k], k(Z
6).Наибольшее значение=1 при х=2(k, k(Z
Наименьшее значение=-1 при х=(=2(k, k(Z
7).Ноли функции х=(/2+(k, k(Z
8).MAX значение=1 х=2(k, k(Z
MIN значение=-1 х=(+2(k, k(Z
9).x>0 на отрезках [-(/2+2(k;(/2+2(k], k(Z
x<0 на отрезках [-(/2+2(k;(/2+2(k], k(ZY = T G x
1).ООФ D(y)(все, кроме х=(/2+(k k(Z
2).ОДЗ E(y)=R
3).Периодическая с периодом (
4).Нечётная; tg (-x)=-tg x
5).Возрастает на отрезках (-(/2+(k;(/2+(k), k(Z
6). Ноли функции х=(k, k(Z
7). x>0 на отрезках ((k;(/2+(k), k(Z
x<0 на отрезках (-(/2+(k;(k), k(Z————————
2cos2(/2=1+cos(
2sin2(/2=1-cos(
