Русская гимназия
КОНСПЕКТ
на тему:
Функция
Выполнил
ученик 10«Ф» класса Бурмистров СергейРуководитель
учитель Математики
Юлина О.А.Нижний Новгород
1997 год
Функция и её свойстваФункция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х
соответствует единственное значение у.
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая
переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые
принимает функция.
Функция является четной- если для любого х из области определения функции
выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции
выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2,
выполняется неравенство f(х1)<f(х2)
Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется
неравенство f(х1)>f(х2)Способы задания функции
— Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для
каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.
Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью
формулы у=f(x), где f(x)-некоторое выражение с переменной х. В таком
случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана
аналитически.
— На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом
способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в
таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются
таблица квадратов, таблица кубов.Виды функций и их свойства
1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое
число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси
абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к(0.
Число k называется коэффициентом пропорциональности.
Cвойства функции y=kx:
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx — нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-
действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную
функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.
Свойства функции y=kx+b:
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая.4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k(0
Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y=k/x:
1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k/x- нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+() и на промежутке (-
(;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-(;0) и на
промежутке (0;+().
Графиком функции является гипербола.
5)Функция y=x2
Свойства функции y=x2:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x2 — четная функция
3. На промежутке [0;+() функция возрастает
4. На промежутке (-(;0] функция убывает
Графиком функции является парабола.6)Функция y=x3
Свойства функции y=x3:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x3 -нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой
y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства
рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства
рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом
случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2.
График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1
тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются»
к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом
случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3.
График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная
формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х,
свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом
случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и
функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x-2:
1. Функция определена при всех x(0
2. y=x-2 — четная функция
3. Функция убывает на (0;+() и возрастает на (-(;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.9)Функция y=(х
Свойства функции y=(х:
1. Область определения — луч [0;+().
2. Функция y=(х — общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+().10)Функция y=3(х
Свойства функции y=3(х:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y=3(х нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.11)Функция y=n(х
При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция
y=(х. При нечетном n функция y=n(х обладает теми же свойствами, что и
функция y=3(х.12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная
формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr:
1. Область определения- луч [0;+().
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+().
На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между
графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке [0;+().Подобный вид
имеет любой график функции вида y=xr, где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график
любой степенной функции y=xr , где 0<r<113)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная
формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=x-r:
1. Обл. определения -промежуток (0;+()
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+()14)Обратная функция
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение
f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция
f обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на
промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее
существует обратная функция, причем обратная функция определена и
возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к
функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию
симметрии относительно прямой y=x.
15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая
функция.
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию
y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной
функцией.
