Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной
переменной§1. Основные понятия
Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому
каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное
определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция,
которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что
обозначается формулой y = f(x).
Число x называется аргументом функции, множество D — областью
определения функции, а все значения y образуют множество E, которое
называется множеством значений или областью изменения функции.
Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для
любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x1 < x2, выполняется условие
f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Так как между множеством действительных чисел и множеством точек
числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в
дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в
некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо
“значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться
“значение функции в точке х1”. В нижеследующем определении можно везде
заменить выражение “точка х” на выражение “число х”.
Пусть ( — некоторое положительное число. (-окрестностью точки x0
называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0 —
(, x0 + (), кроме самой точки x0. Принадлежность точки x (-окрестности
точки [pic] можно выразить с помощью двойного неравенства0 < (x – x0( < (.
Число ( называется радиусом окрестности.
§2. Предел и непрерывность функции
Рассмотрим функцию y = x2 в точке x0 = 2. Значение функции в этой
точке равно 4.
Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно
[pic]
выбрать какое-либо положительное число ( и построить (-окрестность точки
y0 = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x0 = 2 (на рисунке 1
эта окрестность имеет радиус () , что если x будет лежать в этой
окрестности, то соответствующее значение y, равное x2, попадет в (-
окрестность точки y0 = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь
угодно малого числа (. Здесь точка x0 = 2 выбрана произвольно. Можно было
бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное
заключение.
Рассмотрим функцию [pic]. Эта функция не определена в точке x0 = 2.
При x0 ( 2 её можно преобразовать:[pic].
[pic]
График функции представлен на рисунке 2. Хотя исходная функция не
определена в точке x0 = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка
y0 = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное число (, можно
утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно
близко к точке x0 = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x0 = 2,
причем радиус этой окрестности зависит от (), то соответствующие значения y
попадут в (-окрестность точки y0 = 3. Всё сказанное остаётся справедливым
независимо от того, насколько малым выбрано положительное число (.
Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции
y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для
любого положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что
для всех x из (-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в
(-окрестность точки y = A.
Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A
называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого
положительного числа ( можно найти такое положительное число (, что для
всех x, удовлетворяющих условию
0 < (x – x0( < (,
выполняется условие(y – A( < (.
Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0,
записывается формулой
[pic]
[pic].Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы
функция имела предел в точке x = x0, не требуется, чтобы она была
определена в этой точке.
Рассмотрим функцию [pic]. Очевидно, что если x > 0, то y = 2x; если x < 0,
то y = –2x; при x = 0 функция не определена.
График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что,
согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0
предела не имеет.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она
определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой
точке: [pic].
Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой
оси. Функция [pic] не является непрерывной в точке x = 2. Функция [pic] не
является непрерывной в точке x = 0.
[pic]Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка,
называется непрерывной на этом промежутке.
Приведем свойства предела функции.
1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.
2. [pic], если C — постоянная функция.
3. Если существует[pic] и C — постоянная функция, то[pic].
4. Если существуют[pic] и [pic], то существует [pic], равный [pic], а
также существует [pic], равный [pic]. Если при этом [pic], то
существует[pic], равный [pic].
Введем определения так называемых “односторонних пределов”.
Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это
записывается в виде формулы [pic] ), если для любого положительного числа (
найдется положительное число (, такое что из из условия 0 < x – a < ( будет
следовать (B –f(x) ( < (.
Согласно приведенному определению [pic]. Отметим, что обыкновенного
предела функция [pic] в точке x = 0 не имеет.
Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это
записывается в виде формулы [pic] ), если для любого положительного числа (
найдется положительное число ( такое, что из условия 0 < b – x < ( будет
следовать (C – f(x)( < (.
Очевидно, что функция [pic] (её график, изображен на рисунке 3) имеет
два односторонних предела в точке x = 0:[pic]; [pic].
Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в
точке b слева), если[pic] ([pic]).
Функция [pic] непрерывна справа в точке x=0.
Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если
она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и
непрерывна слева в точке b.
Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела
функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только
формулировкой теоремы.
Для того, чтобы выполнялось равенство [pic], необходимо и достаточно,
чтобы одновременно выполнялись два равенства:[pic]; [pic]
В дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно
удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f(x), определенную на
полубесконечном промежутке (х0; (). Число А называется пределом функции
f(x) при х, стремящемся к бесконечности:[pic],
если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное
число M (зависящее от (), что для всех чисел х, превосходящих М,
выполняется условие:(f(x) – A( < (.
Пусть теперь функция f(x) определена на полубесконечном промежутке
(–(; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к
минус бесконечности:[pic],
если для любого положительного числа ( можно найти такое положительное
число M (зависящее от (), что для всех чисел х, меньших, чем – М,
выполняется условие:(f(x) – A( < (.
Отметим два, так называемых, «замечательных предела».
1. [pic]. Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что
прямая [pic] является касательной к графику функции [pic] в точке [pic].
2. [pic]. Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.
Приведем пример применения понятия предела функции в экономических
расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг
суммы S0 с условием, что через период времени T будет возвращена сумма ST.
Определим величину r относительного роста формулой[pic]. (1)
Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение
r на 100.
Из формулы (1) легко определить величину ST:
ST = S0(1 + r)
При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет,
используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год
сумма S0 возрастает в (1 + r) раз, то за второй год в (1 + r) раз
возрастает сумма S1 = S0(1 + r), то есть S2 = S0(1 + r)2. Аналогично
получается S3 = S0(1 + r)3. Из приведенных примеров можно вывести общую
формулу для вычисления роста суммы за n лет при расчете по схеме сложных
процентов:
Sn = S0(1 + r)n.
В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных
процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая
ставка r и количество начислений за год k. Как правило, начисления
производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого
промежутка Tk составляет [pic] часть года. Тогда для срока в T лет (здесь T
не обязательно является целым числом) сумма ST рассчитывается по формуле[pic] (2)
Здесь [pic] — целая часть числа [pic], которая совпадает с самим
числом, если, например, T — целое число.
Пусть годовая ставка равна r и производится n начислений в год через
равные промежутки времени. Тогда за год сумма S0 наращивается до величины,
определяемой формулой[pic] (3)
В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто
встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к
непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно
увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к
бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST и
S1. Применим эту процедуру к формуле (3):[pic].
Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным
пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r при непрерывно
начисляемом проценте сумма S0 за 1 год наращивается до величины S1*,
которая определяется из формулыS1* = S0er. (4)
Пусть теперь сумма S0 предоставляется в долг с начислением процента n
раз в год через равные промежутки времени. Обозначим re годовую ставку, при
которой в конце года сумма S0 наращивается до величины S1* из формулы (4).
В этом случае будем говорить, что re — это годовая ставка при начислении
процента n раз в год, эквивалентная годовому проценту r при непрерывном
начислении. Из формулы (3) получаем
[pic].
Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в
последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и re:[pic], [pic].
Эти формулы широко используются в финансовых расчётах.
