Фун 2 числовых аргументов.
Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е
Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е число
Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но
zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).
Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).
Пусть точка (х0;у0)(Е дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек
(х;у) удовлетвор-х нерав-у
(((х-х0)+(y-y0)( <(.
Точка (х0;у0) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая
окрест этой точки, которая вместе с точкой ( этому множеству.
Точка (х0;у0) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ
точка кроме самой этой точки, которая ( множ Е.
Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.
Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.
Точка (х0;у0)( множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой
точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.
Фун 2 переменных.
Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных
величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины
z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся
в обл D.
Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю
z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2
переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на
плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает
поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в
обл G.Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у
при котором определяется фун-я z=f(х;у).
Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.
Предел фун 2 переменных.
Опр: Число А наз пределом фун z=f(х;у)при х(х0, у(у0, М(х;у)(М0. limх(х0
(у(у0)f(х;у)=A
Если для любого (>0 сущ-ет ( окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех
(х;у)(( окрест-ти будет выполн нерав-во (((х-х0)2+(y-y0)2( <(. (А-
f(х;у)(<(, A-(<f(х;у)<A+(.
Основные теоремы о пределах:
1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn(Yn)=a(b (n(()
Док-во: lim Xn=a => Xn=a+(n; lim Yn=b => Yn=b+(n;
Xn ( Yn = (a + (n) ( (b + (n) = (a ( b) + (( n( bn) => lim(Xn(Yn)=a(b
(n(().
2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n(().
3)lim Xn=a, lim Yn=b (n(() => lim Xn/Yn =(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+(n)/(b+(n) – a/b = (ab+(nb–ab–a(n)/b(b+(n) =(b(n-
a(n)/b(b+(n)=(n => Xn/Yn=a/b+(n => ( lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn)
(n(().
Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.
Непрерывность фун в точке.
Опр: Пусть точка М0(х0;у0) ( обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз
непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство
limх(х0(у(у0)f(х;у)=f(х0;у0) или lim(х(0((у(0)f(х0+(х;у0+(у)= f(х0;у0), где
х=х0+(х и у=у0+(у, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0)
произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.
Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон;
3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон
=f(x0;у0).
Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.
Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.
Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в
точке (х0;у0), то сумма (разность) f(х;у)=f1(х;у)(f2(х;у), произведение
f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций
f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.
Док-во (суммы): По определению получаем, что
limх(х0(у(у0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limх(х0(у(у0)f2(х;у)=f2(х0;у0) на
основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn(Yn)=a(b (n((), можем написать:
limх(х0(у(у0)f(х;у)=limх(х0(у(у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=
=limх(х0(у(у0)f1(х;у)+limх(х0(у(у0)f2(х;у)=
=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.(
2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она
определена. 3) Если фун z=((m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z)
непрерывна в соот-й точке z0=((х0;у0), то фун y=f(((х;у)) непрер-а в точке
(х0;у0).
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то
говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна
на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом
интервале или отрезке (а,в).
Точки разрыва.
Если в некоторой точке N(х0;у0) не выполняется условие limх(х0(у(у0)f(х;у)=
f(х0;у0), то точка N(х0;у0) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).
Условие lim(х(0((у(0)f(х0+(х;у0+(у)=f(х0;у0) может не выпол-ся в след-х
случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки
N(х0;у0), за исключением самой точки N(х0;у0); 2)фун z=f(х;у) определена во
всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), но не сущ-ет предела
limх(х0(у(у0)f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой
окрестности точки N(х0;у0) и сущ-ет предел limх(х0(у(у0)f(х;у), но
limх(х0(у(у0)f(х;у)(f(х0;у0).
Классификация точек разрыва:
Если (х0;у0) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то
(х0;у0) – 1 род.
Если (х0;у0) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы
равны между собой, то разрыв устранимый.
Если (х0;у0) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то
(х0;у0) – 2 рода.
Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.
Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз
непрерывной в этой замкнутой области.
Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка
N(х0;у0…) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е
f(х0;у0…)(f(х;у) и по крайней мере одна точка (N((х0;(у0…) такая, что для
всех др точек обл будет выпол соот-е f((х0;(у0…)(f(х;у…). Фориулируется
так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере
один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y…)
непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим
значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа (, удовл усл m<(<М,
найдется в обл такая точка N*(x*;y*…), что будет выполн рав-во
f(x*0;y*0…)=(. Следствие из св2: Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой
огран обл и принимает как положит, так и отрицательные значения, то внутри
области найдутся точки, в которых функция f(x;y…) обращается в нуль.
Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.
Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ?х,
тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по x.
?xz=f(x+?x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y ?yz=f(x,y+?y)-
f(x,y).
Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз.
предел отношения частного приращения ?xz к приращ-ю ?x при ?x(0.
?z/?x=lim(?x(0)?xz/?x=lim(?x(0)(f(x+?x,y)-f(x,y))/?x. Аналогично частная
производная по y.
?z/?y=lim(?y(0) ?yz/?y=lim(?y(0)(f(x,y+?y)-f(x,y))/?y.
Част диф-л фун: dxz(x;y)=[((z/(x)*(x] и dуz(x;y)=[((z/(у)*(у].
Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.
Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ?x, а
аргументу y приращение ?y, получим для z новое приращение ?z , кот наз.
полным приращением. ?z=f(x+?x,y+?y)-f(x,y).
Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные
производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л
dz=(?f/?x)*?x+(?f/?y)*?y.
Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x0,y0),
если её полное приращение ?z можно представить в виде суммы 2 слагаемых
?z=(A*?x+B*?y)+0((), где (=((?x2+?y2), т.е. lim((х(0,(у(0,((0)0(()/(=0
бесконечная величина более высокого порядка малости, чем (. (A*?x+B*?y)
линейное относительно ?x ,?y.
Полный диф-л в приближенных вычислениях:
f(x+?x0,y+?y)(f(x,y)+[(f(x,y)/(x]*(x+[(f(x,y)/(y]*(y.
Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0,y0), то сущ.
конечные частные производные (?z/?х;?z/?y) при x=x0, y=y0. A=?z(х0;у0)/?x;
B=?z(х0;у0)/?y.
Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0,y0) и в нек.
окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные
(?z/?х;?z/?y), то ф-ия диф-ма.
Производные высших порядков.
?z/?x=?(x,y); ?z/?y=?(x,y); Вторая производная: ??/?x=?2z/?x2;z«xx здесь
фун диф-я посл-но 2раза по х;
??/?y=?z/?x?y; z«xy; ??/?x=?z/?y?x;z«yx; ??/?y=?2z/?y2; z«yy;
Третья производная: ?3z/?x3; ?3z/?x2?y; ?3z/?x?y(х; ?3z/?y?x2; ?3z/?y?x?y;
?3z/?y2?x; ?3z/?y3.
Производная сложной ф-ии.
z=f(u,v)=F(x;y), u=((х;у) и v=((х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v
диф-ы по x и y, то выполняется след равенство
(z/(x=(?z/?u)((u/(x)+(?z/?v)((v/(x); (z/(y=(?z/?u)((u/(y)+(?z/?v)((v/(y).
z=f(x;u;v)=F(x)Полная производная по х:
dz/dx=(z/(x+(?z/?u)(du/dx)+(?z/?v)(dv/dx);
Полная производная по у:
dz/dу=(z/(у+(?z/?u)(du/dу)+(?z/?v)(dv/dу);
Экстремумы фун 2 переменных.
Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)>
f(x,y) {f(x0,y0)<f(x,y)} для всех точек (x,y) достаточно близких к точке
(x0,y0) и отличных от неё.
Определение max и min при предположении, что х=х0+(х и у=у0+(у, тогда
f(x;y)-f(x0;y0)=f(х0+(х;у0+(у)-f(x0;y0)=(f. 1)Если (f<0 при всех достаточно
малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в
точке М0(х0;у0); 2)Если (f>0 при всех достаточно малых приращениях
независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0(х0;у0);
Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при
x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или
обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.
Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно
y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0
она имеет экстремум, то следовательно (?z/?x) при x=x0,y=y0 или равно нулю
или не сущ. Аналогично доказ, что (?z/?у) при x=x0, y=y0 или равно нулю
или не сущ.
Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0,y0),
функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка
включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0) является критической точкой
функции f(x,y) т.е. ?f(x0,y0)/?x=0, ?f(x0,y0)/?y=0.
Тогда при x=x0, y=y0:
1)f(x,y) имеет максимум, если
?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2>0 и ?2f(x0,y0)/(x2<0
2)f(x,y) имеет максимум, если
?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2>0 и ?2f(x0,y0)/(x2>0
3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.
?2f(x0,y0)/(x2*?2 f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2<0
4)Если ?2f(x0,y0)/(x2*?2f(x0,y0)/(y2-(?2f(x0,y0)/?x?y)2=0, то экстремум
может быть, а может и не быть.
Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.
Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=? (x,y) в
некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль.
F(x,y,z)(0. Продифф. по x: F(x,y,z)(0, F(x=0, (F/(x+((F/(z)*((z/(x) (z/(x=—
[((F/(x)/((F/(z)];
Продифф. аналогично по у (z/(y=—[((F/(y)/((F/(z)]
Двойной интеграл.
Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть
в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n
частей(?S1,?S2,?S3…?Sn). На каждой площадке возьмем по точке Pi
(P1,P2,P3…Pn). f(Pi) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму
произведений вида: f(Pi)?Si. Vn=n(i=1f(Pi)?Si – это интегральная сумма для
функции f(x,y) по обл D.
Опр: Предел limmax di(0n(i=1f(Pi)?Si интегральной суммы n(i=1f(Pi)?Si, если
он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на (Di и от выбора точек
Pi(Di наз двойным интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D.
Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл (D, то сущ-ет
предел limmax di(0n(i=1f(Pi)?Si
т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax
di(0n(i=1f(Pi)?Si=((D f(x;y)dxdy=(или)= =((D f(x;y)dS/(
Св-ва:
1)??D(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=(?Df1(x,y)dxdy+(?Df2(x,y)dxdy
2) ? ?Da f(x,y)dxdy=a? ?D f(x,y)dxdy.
3) Если область D=D1(D2, то
? ?Df(x,y)=? ?D1f(x,y))+? ?D2f(x,y).
Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2.
? ?Df(Pi)?Si=? ?D1f(Pi)?Si +? ?D2f(Pi)?Si , где превая сумма содержит
слагаемые, соот-е площади обл D1, вторая – соот-е площадкам обл D2. В самом
деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы
производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-
ся границей площадок ?Si. Переходя в равенство
? ?Df(Pi)?Si=? ?D1f(Pi)?Si +? ?D2f(Pi)?Si к пределу при ?Si(0, получаем
равенство
? ?Df(x,y)=? ?D1f(x,y))+? ?D2f(x,y).(4) Если фун f(x,y)=1, то ? ?D1dxdy=SD
5) Если фун в данной области f(x,y)?(?)0, то интегр от этой фун отриц
(полож) не может быть
? ?D f(x,y)dxdy?(?)0
6) Если f1(x,y)?f2(x,y), то
??Df1(x,y)dxdy???Df2(x,y)dxdy
7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с
площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой
точке P области D.
в? а ( ?2(x)? ?1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S.
Док-во: Из соот-я
mS(в?а(?2(x)??1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S(MS получаем mS(1/S*ID(MS. Число 1/S*ID
заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу
непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает
значение равное 1/S*ID .
Двукратный интеграл
Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей
пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями
y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)). Пусть f(x,y) непрерывна в
области D.
Рассмотрим ID=в?аf2(x)?f1(x)f(x,y)dydx=в(аФ(х)dx
-это двукратный интеграл.
Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:
??Df(x,y)dxdy=(x=pcos?, y=psin? , I=p(=
=??Df(pcos?;psin?)pdpd?=
=?2??1 d? p2(?)?p1(?)(pcos? ;psin?)pdp.
Геометрическое приложение двойного интеграла.
1) Площадь плоской поверхности.
??D f(x,y)dxdy=SD
2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на
элементарные кусочки (Di; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую (Di и
найти значение функции в этой точке. (Vi=f(xi,yi)*(Si. Сумма
(Vi=n(i=1f(xi,yi)*(Si – это объем фигуры состоящей из элементарных
параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.
limmax di(0n(i=1f(xi,yi)*(Si=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела
(цилиндройда).?? f(x,y)dxdy=Vцил
2) Площадь поверхности.
Sпов.= ??[(1+((z/(x)2+((z/(y)2dxdy].Диф-е ур-я (осн понятия).
Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и
F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз порядковым ур-ем.
Решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз любая фун вида у=((х), которая будучи
подставленная в F(x;y;y’;у”…уn)=0 вместе со своими произ-ми обращает в
тождество. F(x;((х);((х)’;((х)”… ((х)n)=0.
Фун вида у=((х;С1;С2;…Сn) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0, если
выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;…Сn; 2) для любых
начальных усл х0, у0, у’0, уn0 можно найти конкретную совокупность С1 0;С2
0;С3 0;…Сn 0 при которых фун у=((х;С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0), что эта фун будет
удвл начальному условиям.
Соот-е вида ((х;С1;С2;С3;…Сn)=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…уn)=0
наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 (т.е. решение ур находиться в
неявной форме).Дифф. ур. 1-го порядка
Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=((x), кот.
обращает ур. в тождество.
Опр-е: Фун. y=((x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун. яв-
ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y=
((x,C0) удов. начальным усл-ям.
Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим
интегралом дифф. ур-я.
Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=((x;C0), кот. получается из общего
реш. y=((x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред.
значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом
ур.
Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:
1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx,
dy/f2(y)=dx/f1(x), ?dy/f2(y)=?dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными
f(x;y)y’+((x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+(1(x)(2(y)dx=0 все разделим на (2(y)*f1(x){f2(y)/(2(y)}dy+{(1(x)/f1(x)}dx=0
?{f2(y)/(2(y)}dy+?{(1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер.
ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)(0, то линейное уравнение
y’+p(x;y)=0.
Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;
2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем)
dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-?Pdx
V= C1e–?Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
V(x)= e–?Pdx, где ?Pdx — какая-нибудь первообразная
V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=?Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ?
Q(x)/V(x)dx+CV(x)
Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)
y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n(0,1.
Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием.Разделим на yn с наибольшим значением n, получим
(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, Сделаем далее замену z=(y–n+1), тогда dz/dx=(-n+1)(y-
n)y’. Подставляя эти значения в ур-е
(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, будем иметь линейное ур-е
dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q
Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y–n+1), получим
общий инт. ур.БернуллиОднородные ур-я
Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)
–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е.
f(tx;ty)=(t0)f(x;y).
Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности, если вып. усл.
f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где
t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но y=U(x)x,
y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=((U) (dU/dx)*x=((U)-
U, dx/x=dU/(((U)-U), ln(x(=[?dU/(((U)-U)] + C ( вместо U подст. y/x и
получим общий инт.
Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и
N(x;y) однородные k-го порядка.Дифф. ур. 2-го порядка
Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав. наз. любая
фун.y=((x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;((x);(’(x);(’’(x))=0
Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач.
C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная
фун. y=((x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.
((x0;С10;С20)=y0 ,
(’(x0; С10;С20)=y0’Линейные дифф. ур-я 2-го порядка
Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)
Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)
– линейное однородное урав.
Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.
1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну
вырозить через др, т.е.
y1(x)/y2(x)(const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2
2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2=
y1?[(e–?P(x)dx)]/(y12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2
3) y1 находим подбором.
Структура общего реш. неоднородного ур.
1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек.
частное реш. самого ур.
2)Метод вариации произ. постоянной
y*= C1(x)y1+C2(x)y2
3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.
сист. ур-ий. 0 y2
C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 ( C1’(x)= f(x) y2’
C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2
y1’ y2’
( C1(x)=?(—)/(—)dx
y1 0
C2’(x)= y1’ f(x) ( C2(x)=?(—)/(—)dx
y1 y2
y1’ y2’
Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.
Рассмотрим случай: y’’+py’+qy=f(x), p,q – числа. y=c1y1+c2y2+y*, где y1, y2
– два лин-но незав. реш.
(1) y’’+ py’+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.
y=ekx k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).
Рассмотрим 3 случия:
1. D>0, k1,2=(-p(((p2-4q))/2, k1(k2 y1=ek1x, y2=ek2x.
Т.к. y1/y2(const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x.
2. D=0 k1,2=-p/2
y1=e-px/2, y2=y1?(e—?pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x).
3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k1,2=(((i, y1=e(xCos(x, y2=e(xSin(x,
y1/y2(const, y=e(x(c1Cos(x+c2Sin(x)
Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.
1. f(x)=Pn(x)e(x 1) ( — не явл-ся корнем хар. ур-ия
y*=(A0xn+A1xn-1 ++…+An)=Qn(x)e(x.
3) ( — однократный корень y*=xQn(x)e(x.
3) ( — двукрат. корень y*=x2Qn(x)e(x.
2. f(x)=p(x)e(xCos(x+q(x)e(xSin(x
1) (+(i – не корень y*=U(x)e(xCos(x+V(x)e(xSin(x.
2) (+(i – корень y*=x[U(x)e(xCos(x+V(x)e(xSin(x].
3. f(x)=MCos(x+NSin(x
1)(i – не корень, y*=ACos(x+BSin(x.
2)(i – корень, y*=x(ACos(x+BSin(x).РЯДЫ
Числовые ряды. Основные определения.
Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1, U2…Un,… Выражение
U1+U2+…+Un+… наз-ся числовым рядом,
U1, U2…Un – члены ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся
n-ой частичной суммой ряда: Sn= U1+U2+…+Un.
Если сущ-ет конечный предел limn((Sn=S, то этот предел наз суммой ряда.
Если предел limn((Sn равен ( или не сущ-ет, то говорят , что ряд
расходится.
Если сущ-ет предел limn((Sn, то ряд сходится.
Некоторые очевидные свойства числовых рядов:
1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его
членов.
Док-во: Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма k отброшенных членов,
Dn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда
имеем: Sn=Ck+Dn-k, где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из
последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k, то сущ-ет и limSn;
если сущ-ет lim Sn, то сущ-ет limDn-k, а это доказ-ет справедливость
теоремы.
2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+…(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд
ca1+ca2+…(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.
Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn, а ряда (2) – через
Dn. Тогда Dn=ca1+…+can=c(a1+…+an)=cSn. Отсюда ясно, что передел n-ой
частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.
lim Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д.
3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+…(5) и b1+b2+…(6) сходятся, и их суммы,
соответственно, равны S1и S2, то ряды (a1+b1)+(a2+b2)+…(7) и
(a1–b1)+(a2–b2)+…(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны
S1+S2 и
S1–S2.
Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму
через Dn, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S1n и
S2n, получим: Dn=(a1+b1)+…+(an+bn)=(a1+…+an)+(b1+…+bn)=S1n+S2n.
Переходя к в этом равенстве к пределу при n(((, получим limDn=lim(S1n+S2n)=
limS1n+limS2n=S1n+S2n.
Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n.
4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn=0 n((.
Док-во: пусть ряд U1+U2+…+Un+… сходится, т.е. limSn=S n((, тогда имеет
место равенство limSn-1=S.
limSn–limSn-1=0, lim(Sn–Sn-1)=0. Но Sn–Sn-1=Un следов-но lim Un=0 ч.т.д.
Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.
1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1+U2+…+Un+…(1), S1n;
V1+V2+…+Vn+…(2) S2n; Известно,что Vn(Un при n(N0.
1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;
2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.
Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что ( lim S2n=S.
S1n=U1+U2+…+UN0+UN0+1+…+Un=SN0+VN0+1+…+Vn. limS1n=lim(SN0+Dn-
N0)=SN0+D. S1n – возраст. послед-ть, ограниченная числом SN0+D => ( lim
S1n=Sn1.
2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L(0,( при n((,
то ряды ведут себя одинаково.
3) Признак Даламбера. Если ( lim(Un+1/Un)=L(2) при n((, то: 1) ряд
сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1.
Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и
соотношения (2) следует, что для всех n, n( N, будет иметь место нер-во
(Un+1/Un)<q (2’). Действительно, т.к. величина Un+1/Un стремится к пределу
L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с
некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в
частности, меньше, чем q–L, т.е.
( Un+1/Un – L(<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая
нер-во (2’) для различных значений n, начиная с номера N, получим
UN+1<qUN,
UN+2<qUN+1< q2UNРассмотрим теперь два ряда:
U1+U2+…+UN+Un+1+… (1)
UN+qUN+q2UN+… (1’). Ряд (1’) есть геом прогрессия с положит
знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с
UN+1, меньше членов ряда (1’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2)
Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с некот.
N, т.е. для n(N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un+1>Un для всех
n(N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и
поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.
4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limn(Un=L, то: 1) ряд
сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.
Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет
иметь место соотношение
( n(Un–L(<q–L; осюда следует, что n(Un<q или Un<qn для всех n(N. Рассмотрим
теперь два ряда: U1+U2+…+UN+UN+1+… (1) и qN+qN+1+qN+2+… (1’). Ряд
(1’) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1),
начиная с UN, меньше членов ряда (1’). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть
L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: n(Un>1 или Un>1. но
если все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше 1, то ряд расходится,
т.к. его общий член не стремится к нулю.
5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ((n=1Un, где члены ряда
убывают Un>Un+1>0. Есть фун f(x)>0, х([1;(] непрерывная и убывающая и
такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.
Если не собственный интеграл ((1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если
не собственный интеграл ((1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.Знакочередующиеся ряды.
Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то
положительны, то отрицательны.Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной
величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n(( равен 0(Lim n(( Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена:
U1(S.Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при
n=2m:
S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и
ограниченная. На основании признака существования придела
последовательность S2m имеет предел Limm((S2m=S. Переходя к пределу в
неравенстве S2m<U1 при m((, получим, что U1(S. Рассмотрим
последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1.
Очевидно, что S2m+1=S2m+A2m+1; Поэтому учитывая необходимый признак
сходимости ряда, Lim m(( S2m+1=
=Limm(( S2m+ Lim m(( А2m+1=S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim
n(( Sn=S, т.е. ряд сходится.
Знакопеременные ряды.
Пусть U1+U2+U3….+Un+ знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un
может быть как положительным, так и отрицательным.
Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд,
составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд
((n=1(Un(; |U1|+|U2|+…+|Un|+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное
утверж не справедливо.
Д: Обозначим Sn+ и Sn- суммы абсолютных величин членов данного ряда (*),
входящих со знаком плюс и минус. Тогда частичная сумма данного ряда
Sn1=Sn+-Sn- , а ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn2=
Sn++Sn- . По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел
Limn((Sn2=S. Последовательности Sn+ и Sn- являются возрастающими и
ограниченными (Sn+ ? S Sn- ? S ), значит существуют пределы
Limn((Sn+ и Limn((Sn-, и соответственно предел частичной суммы данного рядаLimn((Sn1=Lim n((Sn+ -Lim n(( Sn- , т.е. ряд (*) сходится.(
Если ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…сходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+ наз абс.
сходящимся.
Если ряд U1+U2+U3….+Un+ сходиться, а ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…расходиться,
то ряд U1+U2+U3….+Un+ наз усл. сходящимся.
Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1+U2+U3….+Un+ абс сходиться, то на
сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.Степенные ряды.
C0+C1X+C2X2+…+CnXn..-степенной ряд (*)Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X0?0, то
он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X0|,
2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1, то он расходится при всех
значениях Х таких что |Х|>|Х1|.Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0?0, следовательно, выполняется
необходимый признак сходимости Limn((Un=Limn((CnX0n=0. Значит
последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для
всех n выполняется неравенство |CnX0n|<M. Рассмотрим ряд,
составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)
|С0|+ |C1X0||Х/X0|+…+ |CnX0n||X/X0|n+…(1). Члены ряда (1) меньше
соответствующих членов ряда М+М|Х/X0|+…+М|X/X0|n+… представляющего
геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X0|<1, т.е.
при|X|<|X0|, на основании признака сравнения ряд (*) сходится.
2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X1| ряд (*) сходится. Тогда по
доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что
противоречит условию.(
Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R?0, что при |Х|<R ряд
сходится, а при |Х|>R – расходится. Число R получило название радиуса
сходимости, а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.
2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-
R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно
почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.
4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+…+аnх2+…+аn+1хn+1+… и
а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+аn(х-х0)2+… сходяться равномерно.
5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.
Функциональные ряды
Ряд U1+U2+..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются
функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+…(1)
Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится,
называют областью сходимости этого ряда.
Обозначим через Sn(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд
сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x) есть сумма
ряда Un+1(x)+Un+2(x) +…, т.е. rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x) +… В этом случае
величина rn(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области
сходимости ряда имеет место соотношение Limn>? rn(x)=
Limn>?[S(x)-Sn(x)]=0, т.е. остаток rn(x) сходящегося ряда стремится к нулю
при n>?.
Функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется
мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся
числовой ряд а1+а2+а3+…+аn..(2) с положительными членами, что для всех
значений Х из данной области выполняются соотношения
|U1(x)|?a1,…,|Un(x)|?an ,… Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый
его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го
сход. ряда с полож. членами.
Ряд Тейлор.
Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в
окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора:
f(x)=f(a)+f((a)(x-a)+f(((a)[(x-
a)2/2!]+…
…+fn(a)[(x-a)n/n!]+Rn(x), (1) где остаточный член Rn(х)={[(x-
a)n+1]/[(n+1)!]}f(n+1)[a+((x-a)], где 0<(<1. Для того, чтобы ряд сходился к
ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n(( остаток ряда стремился к 0,
т.е. Rn(x)(o. Переходя в формуле (1) к пределу при n((, получим справа
бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:
f(x)=f(a)+f((a)(x-a)+…+fn(a)[(x-a)n/n!]+…
Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена:
f(x)=f(0)+f((0)x+f(((0)[x2/2!]+…
…+fn(0)[xn/n!]+….
Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:
ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+… (-(;()
sinX=x-x3/3!+x5/5!+…+(-1)n-1[X2n-1]/(2n-1)!+… (-(;()
cosX=1-x2/2!+x4/4!-…+[(-1)nX2n]/(2n)!+… (-(;()
(1+x)m=1+mx+[m(m-1)x2]/2!+[m(m-1)*
*(m-2)x3]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn]/n!+… (-1;1)
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..+[(-1)nxn+1]/(n+1)+.. (-1;1]
1/(1-x)=1+x+x2+…+xn+..
1/(1+X2)=1-x2+x4-x6+…
arctgX=x-x3/3+x5/5-x7/7+…+[(-1)n+1x2n-1]/2n-1+…————————
Gy
x
P
