Лекция№8
        Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля.
          Пусть на множестве R определены две алгебраические операции,
которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать
соответственно + и *. Говорят, что умножение обладает свойством (правой)
дистрибутивности относительно сложения, если
 [pic].                                            (1)
 Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если
операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае
говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю
дистрибутивность. Предположим, что операция ’+’ на R имеет нейтральный
элемент, обозначаемый 0.  Положив в равенстве (1)  y = z = 0, получим: x*0
= x*0 + x*0, откуда,  при наличии свойства сокращения для операции ’+’   ,
получаем, что x*0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент
(-y), то взяв в том же равенстве z = -y, получим: 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и,
значит,  x*(-y) = -x*y.
Определение.
Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом,
если
1. (R,+) — абелева группа (аддитивная группа кольца R).
2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.
Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью
соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное
кольцо — это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством
ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо.
Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином
кольцо с единицей (  этот нейтральный элемент называют единицей и
обозначают  [pic]или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что
кроме свойств 1  и 2 выполнено
3. [pic][pic]0.
 Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции
умножения,  называются обратимыми , а их множество обозначается через
[pic]. Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество
[pic]является группой по умножению, называемой мультипликативной группой
кольца R. Поскольку  в кольце R с единицей    [pic]         x*0 = 0[pic]e ,
элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и
такой элемент y[pic]0, для которого можно найти такое z[pic]0, что y*z = 0.
Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.
Определение.
Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в
котором всякий ненулевой элемент обратим: [pic].
Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.
Примеры колец и полей.
1. Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R,Q, и C
  соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел . Отметим,
  что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента — 0 и e. Этот
  «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции
  определяются очевидным образом ( отметим только, что e+e=0). Построенное
  поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут
  ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p — простое число, то все
  вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения.
  Значит, рассматривая группу [pic] с дополнительной операцией умножения,
  мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p).
2. Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный
  пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа
  этого кольца — хорошо известная нам бесконечная циклическая группа.
  Мультипликативная группа [pic] содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому
  изоморфна [pic]. Элементы, не входящие в [pic] необратимы, хотя и не
  являются делителями нуля.
3. Пусть R — любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество[pic]-
  квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо
  относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо
  матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит
  единицу [pic], то матрица  Е =  diag([pic],[pic],…,[pic]) ,будет
  единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы  [pic][pic] имеет
  смысл понятие определителя det(A) [pic] R, причем det(AB)=det(A)det(B).
  Если det(A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце
  матриц: [pic], где [pic]- присоединенная к А матрица (то есть
  транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом,
  [pic]= [pic]- группа матриц порядка n с обратимым определителем.  В
  случае поля R это означает, что det(A) [pic]0, то есть матрица
  невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица
  будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А
  линейно зависимы: [pic], причем не все коэффициенты нулевые. Построим
  ненулевую матрицу В, взяв [pic] в качестве ее первого столбца и считая
  прочие элементы В нулевыми. Тогда  А*В = 0 и значит А — делитель нуля.
4. Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x — некоторый
  символ. Формальная сумма вида p= [pic], где [pic] называется многочленом
  над кольцом R.  Если [pic] , то число n называется степенью этого
  многочлена и обозначается deg(p). Нулевой многочлен не имеет степени.
  Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они
  образуют кольцо R[x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой
  степени p=e будет единицей кольца R[x]. Если R не имеет делителей нуля,
  то deg(pq)=deg(p)+ deg(q) и потому R[x] также не имеет делителей нуля. В
  то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности
  обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени.
  Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от
  нескольких переменных: по определению, R[x,y] =R[x][y] (=R[y][x]).
Определение.
Подмножество [pic] называется подкольцом, если оно является кольцом
относительно тех же операций, которые определены в R.
Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто
относительно умножения: [pic]. Отметим, что если R обладает свойством
ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, то  и К
обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей
может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z [pic]Z не имеет
единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не
равны друг другу. Так будет, например, для подкольца [pic], состоящего из
матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом;
[pic]=diag(1,1,…,1,0) [pic] [pic]=diag(1,1,…,1).
Определение.
Гомоморфизмом колец [pic] называется отображение, сохраняющее обе кольцевые
операции: [pic] и [pic]. Изоморфизм — это взаимно однозначный гомоморфизм.
Ядро гомоморфизма [pic] — это ядро группового гомоморфизма  аддитивных
групп [pic], то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в
[pic].
Пусть снова [pic]- некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) — подгруппа
коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами
которой являются смежные классы  r+K. Поскольку К*К [pic]К,  для
произведения двух смежных классов имеет место включение: (r+K)*(s+K)
[pic]r*s+r*K+K*s+K.
Определение.
Подкольцо К называется идеалом кольца R, если [pic]: x*K [pic]K и
K*y[pic]K.
Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов
(r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K
определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое
факторкольцом кольца R по идеалу К.
Примеры.
1. Подкольцо nZ является идеалом  кольца Z, поскольку для любого целого m
  m(nZ) [pic]nZ. Факторкольцо Z/nZ — это множество вычетов по модулю n с
  операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является
  простым, то Z/nZ имеет делители нуля.
2. Пусть I[pic]R[x] — множество всех многочленов [pic], у которых [pic]=0.
  Удобно записать: I = xR[x]. Поскольку p*I =(p*x)R[x] [pic]I, мы имеем
  идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент
  [pic]. Значит, (q+I)*(s+I) = ([pic]+I)*([pic]+I) =[pic]*[pic]+I.
В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное
коммутативное  кольцо S. Если [pic] любой его элемент, то множество I=x*S
является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим
элементом x. Этот идеал обозначается (x).  Если S кольцо с единицей и
элемент x обратим, то (x)=S.
Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со
всем полем. В самом деле, если [pic], x [pic]0, то для всякого [pic]имеем:
[pic], откуда [pic].
1. Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу [pic] смежный класс
  r+I, получаем сюръективный гомоморфизм  [pic]. Этот гомоморфизм
  называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.
Замечание.
Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно
сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей
нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).
Теорема об ядре.
Ядро гомоморфизма колец является идеалом.
Доказательство.
Пусть [pic]- гомоморфизм колец, I =Ker[pic],  [pic]- любой элемент. Тогда,
[pic](x*I) =[pic](x)* [pic](I) =[pic](x)*0 =0. Значит, x*I [pic]Ker[pic]
=I. Аналогично проверяется, что I*x[pic]I.
Теорема о гомоморфизме для колец.
Пусть [pic]- сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу
R/Ker[pic]. Если эти изоморфные кольца отождествить, то [pic]
отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей
теоремы для групп и мы его опускаем.
Пример.
Пусть K — кольцо многочленов R[x], [pic]: K[pic]C — гомоморфизм,
сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : [pic](p)
=p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде:
  ([pic]+1)*q(x), где q — любой многочлен. Можно записать: Ker[pic]
=([pic]+1). По теореме о гомоморфизме [pic].