МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙФакультет заочного и послевузовского обучения
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
По дисциплине: «Теория вероятностей и элементы математической
статистики»Воронеж 2004 г.
Вариант – 9.Задача № 1.
№№ 1-20. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в
течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается
неисправным с вероятностью р1, второй – с вероятностью р2, третий – с
вероятностью р3. Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы
оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал
неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в
таблице).
p1=0,4 p2=0,6 p3=0,9Решение:
Пусть событие А означает, что первый узел оказался неисправным, В
оказался неисправным второй узел и С – оказался неисправным третий узел,
тогда [pic] — первый узел был исправен в промежуток времени t, [pic] — был
исправен второй узел, [pic] — был исправен третий узел.а) Пусть событие D означает, что все узлы оставались исправными,
тогда [pic]. Поэтому , учитывая независимость событий [pic], [pic] и [pic],
по теореме умножения вероятностей имеем:
[pic]б) Пусть событие Е – все узлы вышли из строя, тогда:
[pic]в) Пусть событие F – только один узел стал неисправным, тогда:
[pic]
События [pic] несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения
вероятностей несовместимых событий, получим:
[pic]
[pic]
[pic]г) Пусть событие D1 – хотя бы один узел стал неисправным, тогда:
[pic]
[pic].Задача № 2
№39. По линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность
передачи символа А равна 0,5; символа В – 0,3; символа С – 0,2. Вероятности
искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0,01; 0,03;
0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему
равна вероятность, что передавался сигнал АВ?
Решение:
Пусть событие А – передача символа А, событие В – передача символа В,
событие С – передача символа С, событие [pic] — искажение при передаче
символа А, событие [pic] и [pic] — искажения при передаче символов В и С
соответственно.
По условию вероятности этих событий равны:
[pic], [pic] [pic], [pic], [pic], [pic]
Если события [pic], [pic] и [pic] — искажения при передаче символов,
то события [pic], [pic] и [pic] — отсутствие искажений при передаче. Их
вероятности:
[pic]
Обозначим через D событие, состоящее в том, что были переданы два
символа без искажений.
Можно выдвинуть следующие гипотезы:
Н1 – переданы символы АА,
Н2 – символы АВ,
Н3 – символы ВА,
Н4 – символы АС,
Н5 – символы СА,
Н6 – символы ВВ,
Н7 – символы ВС,
Н8 – символы СВ,
Н9 – символы СС.
Вероятности этих гипотез:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Условные вероятности события D если имела место одна из гипотез
будут:
[pic]
[pic]
По формуле Бейеса вычислим условную вероятность [pic] с учетом
появления события Р:
[pic]
[pic]Задача № 3
№№ 41-60. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях
событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; в) не более k раз; г)
хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого
события равна р (см. исходные данные в таблице).
|n=5 |k=4 |p=0,8 |Решение:
Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой
вероятности воспользуемся формулой Бернулли:
[pic], где
[pic]
число сочетаний из п элементов по k, q=1-p. В рассматриваемом случае:а) вероятность появления события ровно 4 раза в 5 испытаниях:
[pic]б) вероятность появления события не менее 4 раз в 5 испытаниях:
[pic]в) вероятность появления события не более 4 раз в 5 испытаниях:
[pic]г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях:
[pic]Задача № 4
№№ 61-80. Дана плотность распределения f(x) случайной величины Х.
Найти параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое
ожидание М[Х], дисперсию D[X], вероятность выполнения неравенства х1<x< x2,
построить график функции распределения F(x).
[pic]Решение:
Для определения параметра а воспользуемся основным свойством
плотности распределения:
[pic], так как при [pic] плотность распределения равна нулю, то интеграл
примет вид: [pic] или [pic], откуда
[pic]; [pic]
Функция распределения связана с функцией плотности соотношением:
[pic]
Откуда получим: [pic]
Математическое ожидание [pic] и дисперсию [pic] определим по
формулам:
[pic]
[pic]
Вероятность выполнения неравенства <x< определим по
формуле: Р( <x< )=[pic]F( ) – F( )=Задача №5
№№ 81-100. Найти вероятность попадания в заданный интервал [pic]
нормально распределенной случайной величины, если известны ее
математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение [pic] (см.
исходные данные в таблице).
|( = 10 |( = 22 | a = 8 |( = 6 |Решение:
Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой:
[pic]
Здесь [pic] — функция Ломпаса, значения которой определяются по
таблице. Учитывая, что функция Ф(х) нечетная, получим:
[pic]
