Билет № 3
1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
2. Объем призмы.
1.Три случая расположения прямой и плоскости.
1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку ( ((
2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.
1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.((( a2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на
высоту.
Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В1С1с объемом V и
высотой h.
Проведем такую высоту ?АВС (ВD) кот. разделит этот ?на 2 ?.
Поскольку ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы ,
основания кот является прямоугольный ?ABD и ВСD. Плэтому
объем V1 и V2 соответственно равны SABD ·h и SВСD ·h. По св-
ву 20 объемов V=V1+V2 т.е V= SABD ·h+ SВСD ·h=
(SABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h
Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и
площадью основания S. Такую
призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой
h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и
сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h,
получим в скобках сумму площадей оснований треугольных
призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким
образом, объем исходной призмы равен произведению Sh.
Теорема доказана.
Рассмотрим случай , когда
призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное
сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные
призмы. Так как Sпол = 1//2 ab то S?=ab =>V?= Sh ч.т.д.Билет №5
1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)
2. Объем цилиндра.
1.Рассмотрим пл ? и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А
прямую,( к пл ?, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл ?
.Отрезок АН называется, ( проведенным из
т А к пл ?, a т Н — основанием (. Отметим в пл ? какую-
нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется
наклонной, про-вед из т А к пл ? , а т М — основанием
наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл
?. Сравним ( АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ?АМН
сторона АН — катет, а сторона AM — гипотенуза, поэтому
АН<АМ. Итак, (, проведенный аз данной т к пл, меньше любой
наклонной, проведенной из той же т к этой пл.
=> из всех расстояний от т А до различных т пл ? наименьшим
является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина (,
проведенного из т А к пл ? , называется расстоянием от т A
до пл ?
Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости
равноудалены от другой плоскости.2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную
призму Fn а в
эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn
объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так
как объем призмы Fn равен Snh, где Sn- площадь основания
призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в свою
очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn<Snh<V. Будем
неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rп
цилиндра Рп стремиться к радиусу r цилиндра
Р(rп=rcos180/n(r при r>?). Поэтому V цилиндра Рп
стремиться к объему цилиндра Р: limVn=V. Из равенства
(Vn<Snh<V) =>, чтоn>?
limSnh=V. Но limSn=?r2 Т.о V=?r2h. т.к ?r2=S , то получим
V=Sоснh.n>? n>?
Билет № 6
1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)
2. Объем конуса.
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную
первой , называется расстояни6е между скрещивающимися
прямыми.Если две прямые скрещиваются то через каждую из них
проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том
только одна.2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения
площади основания на высоту.
Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R,
высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ).
Произвольное сечение конуса пл. , ( к оси Ох , является
кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с осью Ох.
Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где
х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ? ОМ1А1 и
ОМА=> что
|ОМ|=|R|, |x|=|R|отк|R| |так|S(x)=|,|S(|(R|
|1 | |1|ил| | |1|уда|=|x|как|(R12 |т|x)|2 |
| | | |и | | | | | |R| | |о|= | |
|ОМ| |R| |h| |R| | | | | | | | |
| | | | | | | | | |h| | | | |h2|Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при
а=0, b=0, получим
| |h| | | |h| | | | |
| | | | | | | | | |h |
|V|?|?|x2|?|?|x2|?|(|x3|(|1|?R2|
|=| |R|dx|R| |dx|R| | |=| |h |
| | |2|= |2| |= |2| | | | | |
| | |h| |h| | |h| |3 | |3| |
| | |2| |2| | |2| | | | | |
| |0| | | |0| | | | |
| | | | | | | | | |0 |Площадь S основания конуса равна (R2, поэтому V=1/3Sh.
Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь
оснований S и S1вычисляется по формуле V=1/3h(S·S1+? S·S1).Билет №7
1. Угол между скрещивающимися прямыми
2. Площадь боковой поверхности цилиндра.
1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем
произвольную т. М1 пространства и проведем через нее
прямые А1В1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD
Если ? между прямыми А1В1 и С1D1 =?, то будем говорить ,
что ? между скрещивающимися прямыми АВ и СD=?. Докажем
теперь, что ? между прямыми не зависит от выбора т. М1 .
Действительно , возьмем любую т. М2 и проведем прямые
А2В2и С2D2 соответственно парал. АВ и СD Т.к А1В1? А2D2 ,
С1D1? C2D2 , то стороны углов с вершинами в т.М1и М2
попарно сонаправлены ( ?А1М1С1 и ?А2М2С2 , ?А1М1D1 и?А2М2D2
) потому эти ? равны , ? что ? между А2В2и С2D2 так же
=?. В качестве т М можно взять любую точку на одной из
скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и
через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между
прямыми A'B'и CD= ?2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны
окружности основания на высоту
Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем
т.о , что все образующие оказались в одной плоскости ? . В
результате в пл ? получится прямоугольник АВВ'А' .
Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности
цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется
разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА'
прямоугольника является разверткой окружности основания
цилиндра , поэтому АА'=2?r , AB-h, где г- радиус цилиндра
, h- его высота . за S бок цилиндра принято считать S её
развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2?r•h
то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h
формула
S бок=2?rhБилет № 9
1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)
2. Сложение векторов. Свойства сложения.2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор
АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b . Вектор АС называется суммой
векторов а и b : АС=a+b.
Это правило сложения векторов называется правилом
треугольника. (по этому же правилу складываются и
коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не
получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой
при сложении откладывается вектор а. (если например
заменить т А на т А1 то вектор АС заменится равным ему
вектором А1С1Привило треугольника можно сформулировать и в
другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство
АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно
пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых
векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-
тельный з-н.);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два
нулевых вектора называются противоположными, если их длины
равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-
оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор.
Вектр АВ является проти-воположным вектру ВАБилет № 10
1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.(
формулировки , примеры)
2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на
число.
1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя
полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.
У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а –
общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного
угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре
какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем
перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол
называется линейный угол двугранного угла. (( АОВ ) ОА(CD
CD(ОВ, то плоскость АОВ ( к прямой СD. Двугранный угол
имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг
другу. Рассмотрим 2 линейных (АОВ и (А1О1В1 . Лучи ОА и
О1А1 лежат в одной грани (к ОО1, поэтому они сонаправлены.
Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> ( А1О1В1 =(АОВ.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера
его линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым (
90(, <90(, >90()2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b ,
длинна которого равно (k(((a( , причем вектор a и b сонаправлены при k? 0
и противоположно направлены при k<0. Произведением ненулевого вектора на
любое число нулевой вектор. Произведение вектора а на число k обозначается
так : ak. Для любого числа k и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из
этого определения следует , что произведение любого вектора на число 0 есть
нулевой вектор. Для любых векторов а и b и любых чмсел k, l справедливы
равенства:
(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)
k(a+b)=ka+kb(?-ый распределительный з-н)
(k+l)a=ka+la ( II-ой распределительный з-н)
отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е. (-1)а
= -а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: ((-1)a( =((-
1)(((а(=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы (-1) а и а
противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать,
что если векторы а и b коллинеарны и а(0 , то существует число k такое,
что b= ka.Билет № 11
1. призма (формулировки , примеры)
2. Скалярное произведение векторов.
1. Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А1А2.., Ап и В1В2….Вп,
расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1В1 ,А2В2, …,
АпВп, соединяющие соответственные вершины мн-
ков, параллельны.Каждый из п 4-хугольников A1A2B2B1,
А2А3В3В2, …. AnA1B1Bn является п-ммом, так как имеет
попарно параллельные про-тивоположные стороны. Мн-к,
составленный из 2 равных мн-ков А1A2…An и В1В2…Вп,
расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов наз
призмой Мн-ки A1A2….An и B1B2…Bn наз основаниями, а п-
ммы-бокоеыми гранялш призмы.От резки А1В1, А2В2 …, АпВп
наз бо-коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные
стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу,
равны в парал-лельны.Призму с основаниями A1A2….An и
B1B2…Bn обозначают-A1A2 ….Аn В1В2…Вn и называют п-
угольной призмой.4-ехугольная призма- параллелепипед. (,
проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к
плоскости другого основания, называется высотой приз-мы.
Если боковые ребра призмы ( к основаниям, то призма наз пря-
мой, в противном случае –наклонной. Высота прямой призмы
равна ее боковому ребру.Прямая при-зма называется пра-
вильной, если ее основания — правильные мн-ки. У такой
призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной
поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее
граней, а S боковой поверхности призмы— сумма площа-дей ее
боковых граней. Пло-щадь Sполн полной повер-хности выра-
жается через площадь S6os боко-вой поверхности и пло-щадь
Sосн ос-нования призмы форму Sполн = S6oк+ 2Sосн.2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их длин
на косинус угла между ними Скал-ое произведение векторов а и b обозначают
так :аb . Т. о. ab=(a(((b( cos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0
тогда, когда эти векторы (; скал-ый квадрат вектора(т.е скал-ое
призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-
ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое
произведение векторов а{x1;y1;z1} и b{x2;y2;z2}выражается формулой: аb=
x1x2+y1y2+z1z2. Косинус ( ( между ненулевыми вектора-ми а{x1;y1;z1} и
b{x2;y2;z2} вычисляется формулой.
|соs|x1x2+y1y2+z1z2. |В самом деле, так как |cos| |
|(= | |а b =(а(((b(, то |(= |ab|
| |?x12+y1І+z12 ?? | | | |
| |x22+y2І+z22 | | |(a|
| | | | |((|
| | | | |(b|
| | | | |( |Подставив сюда выражения для ab, (а(и(b( через координаты
векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b
и c и любого числа k справедливы равенства:
10.а2 () , причем а2>0 при а(0
20.ab=ba(переместительный з-н)
30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)
40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)
Утверждения 1?-4?относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть
, что распределительный з-н имеет место для любого числа
слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)Билет № 12
1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)
2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную
точку.1.Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается
прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее
боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные
многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и
приом только одна .
Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки
Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1
через эти 3 точки проходит пл (. Т.к. 2 точки прямой РиН лежат в пл (.,
то по аксиоме А2 пл (.проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай
через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т
М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл (., т.к по аксиоме
А1через 3 точки проходит только одна плоскость.Билет № 13
1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)
2. Теорема о боковой поверхности призмы.
1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник,
если его боковые ребра (к основанию, а основания представляют собой
прямоугольники: коробки,
ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD
A1B1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и
A1B1C1D1 a боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 и DD1 ( к
основаниям. Отсюда=>, что АА1(АВ, т. е. боковая граyь
АА1В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об
остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали
следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:
1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней
прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани
парал-
да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами
параллелепипеда.
2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.
Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного
парал-да. Например, у парал-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1.Длины
смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно
сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух
его измерений.2. Теорема: S боковой поверхности прямой призмы равна произведению
периметра основания на высоту призмы.
Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания
которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой
поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников,
т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося
множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е
его периметр P. Итак Sбок=PhS=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph
Билет № 14
1. Пирамида(формулировка , примеры)
2. Существование прямой, параллельной данной прямой и
проходящей через данную точку.
1. Пирамида. Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn и точку Р не лежащую в
плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами
многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3…,РаnА1.
Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2…Аn и n
тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник
А1А2…Аn назы-вается основанием, а треугольники- боковыми
гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а
отрезки РА1,РА2, …, РАn – её боковыми ребрами . Пирамиду с
основанием А1А2,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn
–и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида
называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный из
вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотой
пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют
сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности
– сумму площадей её боковых граней2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a
и т М проходит
пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой
?. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а,
должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е.
должна лежать в плоскости ?. Ho в плоскости ?, как известно
из курса планиметрии, через т М проходит прямая,
параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая
обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая,
проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема
доказана.Билет № 15
1. Цилиндр (формулировки и примеры)
2. Признак параллельных прямых.
1. Цилиндр. Рассмотрим две параллельные плоскости ? и ? и окружность L с
центром О радиуса r , расположенную в пл ?. Отрезки прямых заключенных
между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки
называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов
образующих расположенных в пл ? заполним окружность
L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя
кругами с границами L и L1 , называется цилиндром.
Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью
цилиндра, а круги — основаниями цилиндра . Образующие
цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра
, прямая ОО1- осью цилиндра.
Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг
одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через
ось , представляет собой прямоугольник , две стороны
которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований
цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая
плоскость ? к оси цилиндра , то сечение является кругом.
Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем
основании параболу .Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о
параллельных прямых.
Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой,
проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a
и т М проходит
пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой
?. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а,
должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е.
должна лежать в плоскости ?. Ho в плоскости ?, как известно
из курса планиметрии, через т М проходит прямая,
параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая
обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая,
проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема
доказана.Билет №16
1. Конус (формулировки и примеры)
2. Признак параллельности прямой и плоскости
1.Конус. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР ,
перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности
соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками
называется конической поверхностью
а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело,
ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей
L, называется конусом .Коническая по-верх называется
боковой поверхностью конуса, а круг — снованием конуса .
Т.Р называется вершиной конуса , а образующие конической
поверхности – образующими конуса. Все образующие равны
друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и
вершину , называется Осью конуса . Ось конуса ? к
плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным
треугольником вокруг одного из его катетов. При этом
боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы.
Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через
ось , то сечение пред-ставляет собой треугольник , и
называется осевым сечением. Если секущая плоскость ? к оси
ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром
в т.О1 , расположенным на оси конуса. R1 этого круга равен
РО1/РО r , где r- радиус основания конуса , что легко
усмотреть из подобия ?РОМ??РО1М12.Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не
имеют общих точек.
Теорема. Если прямая , не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой-
нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной
плоскости.
Д-во. Рассмотрим пл.?и 2|прямые a и b , расположенные так, что прямая b
лежит в пл ?, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что ?|a. Допустим,
что это не так, тогда прямая a пересекает пл ? , а значит по лемме о
пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл ? . Но это
невозможно , так как пр b лежит в пл ?. Итак пр a не пересекает пл ?,
поэтому она |этой плоскости.Билет № 17
1. Сфера, шар( формулировки, примеры)
2. Признак параллельности плоскостей.
Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен.
пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки
Данная точка называется центром сферы (т О), а данное
расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают
буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь
точку сферы, также называется радиусом сферы.Отрезок,
соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр,
называется диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен
2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением
полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное
сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы
называются также центром, радиусом и диаметром шара.
Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки
пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не
превышающем H (вклю-чая и точку О), и не содержит других
точек.2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.
Д-во. Рассмотрим две плоскости ? и ?. В плоскости ? лежат
пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости ? —
прямые a1 и b, причем a||a1 и b||b1. Докажвм, что a||b.
Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой
и плоскости a||? и b||?. Допустим, что плоскости ? и ? не
параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с.
Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па-
раллельную плоскости ?, и пересекает плоскость по прямой с.
Отсюда следует, что a||с.
Но плоскость a проходит также через прямую b, параллельную
плоскости ?. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две
прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к
по теореме о параллельных прямых через точку М проходит
только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше
допущение неверно и ?|| ?. Теорема доказана.Билет № 18
1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример)
2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного
из них)2. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она
перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.
Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-
на к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой
плос-кости.
Д-во. Рассмотрим 2 |а и а1 и пл ?, такую, что а(?. Докажем,
что и а1(?.. проведем какую-нибудь прямую х в пл ?. Так как
а(?, то а(х. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных
прямых к третьей а1(х. Т.о. прямая а1 ( к любой прямой ,
лежащей в пл ( т.е а1(?.
Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они
параллельны.Билет №20
1. Фрмула обьема шара( формула примеры)
2. Теорема о трех перпендикулярах
1. Теорема: Объем шара радиуса R равен 4/3 (R3
Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох
произвольным образом. Сечение шара пл. (к оси Ох и проходящей через т М
этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r
, а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из
прямоуголь-ника ОМС находим: r=(OC2 –OM2 =(R2(x2.Так как S(x)=(R2 ,то S(x)=
((R2- x2). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на
диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R( x (R. Примеряя
основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
|V| R |(| |4| |
| |R R |x|R| | |
| |R |3| | | |
| |=?((R2-x2)dx= (R2? | |(| |(R|
| |dx-(?x2dx=(R2x(- | |=| |3 |
| | |3| |3| |
| | -R | |-| | |
| |-R -R | |R| | |
| |-R | | | | |2.Теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к её проекции на эту плоскость,
перпендикулярна и к самой наклонной.
Д-во. Дана пл ? и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а-
прямая, проведенная в пл ? через т м ( к проекции НМ
наклонной. Докажем , что а (АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а (к
этой пл, т.к она ( к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а
( НМ по условию и а (АН, т.к. АН( ?). Отсюда =>, что пр а (
к любой прямой , лежащей в пл АМН, в частности а(АМ
Обратная теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции
