ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если
равенство (1а1+(2а2+…+(лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все
числа (1, (2,…, (л=0 и (R
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если
равенство (2) выполнимо хотя бы при одном (i(0 (i=1,…,k)
Свойства
1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то
она будет линейно-зависимой.
3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет
линейно независимой.
4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной
комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно
зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на
параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в
параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а(0 и эти векторы
коллинеарны, то найдется такое действительное число (, что b=(a.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и
достаточно, что бы они были коллениарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=(a. Будем
считать, что а,b(0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству).
1b-(a=0. Т.к. коэфф. При b(0, то система линейно зависима по определению.
Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. (а+(b=0, ((0. а= -b/(*b. а и b
коллинеарны по определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и
достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны.
Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то (а+(b+(c=0, ((0. с= —
(/(*а — (/(*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной
плоскости.БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой
системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную
пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех
некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется
заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой
масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется
заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и
одинаковой масштабной ед. на осях.СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение
длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
1. (а,b)= (b,а)
2. ((а,b)= ( (а,b)
3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)
4. (а,а)=|a|2 – скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е
равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если
все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе,
то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих
координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения.
cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b]
называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u.
2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
1. [a,b]= — [b,a]
2. [(а,b]= ( [а,b]
3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4. [a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади
параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования
определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном
базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в
первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты
первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий
одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е
пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой.
Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол
между пр.
1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0
(1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0).
Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно
равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор
n(A,B) называется нормальным вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же
прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е
называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
2. x/a+y/b=1.
Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
3. x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем
на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
4. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы
две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)
5. y=kb+b.
u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом
прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой
tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b,
y=kx+b
6. xcos(+ysin(-P=0
( — угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и (
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos(, sin().
Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем
двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2.
ОМ*n=cos(x+sin(y. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcos(+ysin(-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2(=(A*t)2
Sin2(=(B*t)2
-p=C*t
cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt(1/ A2+B2). Sign t= — sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.
1. xcos(+ysin(-P=0
( — угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и (
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos(, sin().
Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем
двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2.
ОМ*n=cos(x+sin(y. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcos(+ysin(-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2(=(A*t)2
Sin2(=(B*t)2
-p=C*t
cos2(+sin2(=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=(sqrt(1/ A2+B2). Sign t= — sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки
от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = — d, если
нач.коорд. и точка по одну сторону.
Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos(+ysin(-P=0 и
М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cos(+y1sin(-P=0
Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к.
d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cos(+y0sin(-P|.
d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)ГИПЕРБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух
фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
Каноническое уравнение:
Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом
расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка
гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов;|r2-r1|=2a; a<c;
[pic], [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
c2-a2=b2
x2b2-a2y2=a2b2
[pic] — каноническое ур-е гиперболыПАРАБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки
на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой
этой плоскости называемой директрисой.
Каноническое уравнение:
Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение
перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от
начала координат.
|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r;
MK=d;
r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x
Приравниваем и получаем:
y2=2px — каноническое уравнение параболыЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.
1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.
е=с/а
е эллипсв <1 (т.к. а>c)
е гиперболы >1 (т.к. с>a)
Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.
Выразим эксцентриситеты через а и b:
[pic]
[pic]
е эллипса является мерой его «вытянутости»
е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами
2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется
прямая расположенная в полуплоскости ( перпендикулярно большой оси эллипса
и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)
D1: x= — a/e
D2: x= a/eр=а(1-е2)/е – для эллипса
р=а(е2-1)/е – для гиперболыТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ,
ПАРАБОЛЫ.
Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к
расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная
равная е эллипса (гиперболы).
Доказательство: для эллипса.
r1/d1=e
[pic]x(|a|, xe+a>0
r1=xe+ad1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм=-x-a/e
d1=-бм (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)
[pic]Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к
расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и
представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус
кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится
фокус.
r= (
d=p+(cos(
e=(/p+(cos(
[pic] — полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к
нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу
значит справедливо:
[pic]
у-у0=y’(x0)(x-x0)
[pic]
Рассмотрим касательную к кривой [pic] следовательно [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
[pic]
[pic]
[pic] — уравнение касательной к эллипсу.
[pic] — уравнение касательной к гиперболе.
[pic] — уравнение касательной к параболе.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного
переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим
все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:
(е1;е1’)=cos u
(е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u
(е2;е1’)=cos (90-u)=sin u
(е2;е2’)=cos u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е1;е1’)=(е1, (11е1+(12е2)= (11
(е1;е2’)= (е1, (21е1+(22е2)= (21
(е2;е1’)= (12
(е2;е2’)= (22
Приравниваем:
(11=cos u
(21= — sin u
(12=sin u
(22=cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u — формулы поворота системы координат на угол u.
————
x=a+x’
y=b+y’ — формулы параллельного переносаИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно
преобразования системы координат, называется функция зависящая от
коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании
системы координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно
преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются
неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2>0 – элиптический тип
I2<0 – гиперболический тип
I2=0 – параболический типЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе
X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались
равными нулю. После этого:
a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)
точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.
Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0
Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является
центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но точка О’ существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля.
Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I2(0 т.е. центр симметрии имеют
линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение
не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0,5(a11-
a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:
[pic], после такого преобразования уравнение принимает вид
a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0 (3)ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0 и пусть I1>0
следовательно уравнение (1) определяет: 1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка;
3. I3>0 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается
в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и
поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I2>0, I1>0, I3<0, тогда
а11’’x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2
[pic]
I2=a11’’a22’’ > 0
I1= a11’’+a22’’ > 0
a11’’ > 0; a22’’ > 0
[pic]
Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение
эллипса.
2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно
уравнение не определяет действительного геометрического образа.
3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е.
I2<0, I3(0 — ур-е (1) определяет гиперболу; I3=0 – пару пересекающихся
прямых.
Доказательство: I2<0; I2= a11’’a22’’ < 0. Пусть a11’’>0; a22’’<0
Пусть I3>0
[pic]
В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.
Пусть I3<0
-(-а11’’)x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2
[pic]
В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY
Пусть I3=0
а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0
[pic]
[pic]АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную
часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2
Определение: ненулевой вектор ((, () координаты которого обращают в ноль
квадратичную часть называется вектором асимптотического направления
заданной кривой.
((, () – вектор асимптотического направления.
a11(2+2a12((+a22(2=0 (*)
Рассмотрим ((’, (’) параллельный ((, (): [pic] следовательно [pic]. Дробь
(/( характеризует вектор асимптотического направления.
Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го
порядка.
Решение: положим, что ((0 и поделим на (2, получим: a11((/()2+2a12(/(+a22=0
из этого квадратного уравнения найдем (/(.
[pic]
т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2(0, то они имеют
асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него
нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем асимптотические направления у гиперболы:
[pic]
((, ()1=(a,b)
((, ()2=(-a,b)
Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для
асимптот.
Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются
асимптотами гиперболы.
Найдем асимптотические направления у параболы:
y2=2px
y2-2px=0
u(x,y)= y2+0, y=0
((, ()=(0,0)
Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии
параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в
одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно
асимптотическое направление, но асимптот не имеет.РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано трехмерное пространство.
Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой
степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C(0 одновреенно.
Справедлива и обратная теорема.
Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим
уравнением.
Вектор n – нормальный вектор плоскости.
2. Уравнение плоскости в отрезках: [pic]
3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.
Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax0+By0+Cz0=-D
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
5. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.
Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.
М1(x1;y1;z1); М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)
Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной
плоскости то векторы компланарны.
М1М x-x1 y-y1 z-z1
М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0
М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1
6. Параметрическое ур-е плоскости.
Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов.
V(V1;V2;V3); U(U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет вид: система:
x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3sРАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)
[pic]ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0, поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2). Отыскание угла между
плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.
[pic]
