Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования
элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные
тригонометрические функции.Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить
их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
y = arcsin(1/x)
Д(f): | 1/x | ? 1 ,
| x | ? 1 ,
( — ? ; -1 ] U [ 1; + ? )Функция нечетная
( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] )
Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є
[-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)Д(f): ( — ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Решение:
Д(f): [-1;1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0;1]
f(x) возрастает на пр. [-1;0]Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2
f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0.
f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0.Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( — ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )|X |0 |< x |1 |< x |+? |
| | |< | |< | |
|u=1/(x2-1|-1 |? |+ ? |? |0 |
|) | | |- ? | | |
|y=arctg(u|- |? |?/2 |? |0 |
|) |?/4 | |- ?/2| | |Тригонометрические операции над аркфункциями
Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются
алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-
либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается
алгебраическое выражение.
В силу определения аркфункций:sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x
(справедливо только для x є [-1;1] )
tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x
(справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:y=x и
y=sin(arcsin(x))Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших
тригонометрических операций над аркфункциями.|Аргумент |arcsin(x) |arccos(x) |arctg(x) |arcctg(x) |
| | | | | |
|функция | | | | |
|sin |sin(arcsin(x))=|[pic] |[pic] |[pic] |
| |x | | | |
|cos |[pic] |x |[pic] |[pic] |
|tg |[pic] |[pic] |x |1 / x |
|ctg |[pic] |[pic] |1 / x |x |Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи
рассуждений, приведенных ниже:
1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x)
[pic]
[pic]Перед радикалом [pic]следует взять знак “+”, т.к. дуга
[pic]принадлежит правой полуокружности (замкнутой) [pic], на которой
косинус неотрицательный.
Значит, имеем
[pic]2. Из тождества [pic]следует:
[pic]3. Имеем
[pic]4. [pic]
Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством
выведения формул.Пример №1. Преобразовать выражение [pic]
Решение: Применяем формулу [pic], имеем: [pic]Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость
тождеств:
[pic]
[pic]Пример №3. Пользуясь …
[pic]Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]Пример №5. Положив в формулах
[pic], и [pic]
[pic], получим:
[pic], [pic]Пример №6. Преобразуем [pic]
Положив в формуле [pic], [pic]
Получим:
[pic]
Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга [pic]принадлежит I четверти, а
потому левая часть неотрицательная.Соотношения между аркфункциями
Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими
из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:[pic]
[pic]
Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие
из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того
же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования
одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же
полуокружности.
Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (-
?/2; ?/2).
Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде
арктангенса. В самом деле, дуга [pic]имеет синус, равный sin? и заключена,
так же как и ?, в интервале (-?/2; ?/2), следовательно
[pic]
Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса:
[pic]
А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы
быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
[pic]
Так, например:
[pic]
[pic]
Аналогично:
[pic]Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых
содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
1. Выражение [pic][pic]через арктангенс.
Пусть [pic], тогда
[pic]
Дуга [pic], по определению арктангенса, имеет тангенс, равный [pic] и
расположена в интервале (-?/2; ?/2).
Дуга [pic]имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-?/2;
?/2).
Следовательно,
[pic] (1)
(в интервале ( -1 : 1 )2. Выражение [pic]через арксинус.
Т.к. [pic], то [pic] (2)
в интервале [pic]3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства [pic]следует
тождество
[pic] (3)Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в
различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и
арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение
тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция
(дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи
любой аркфункции; так, например,
[pic]Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть
выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит
либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и не может быть
представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из
этих двух) промежутку.
Так, например, дуга [pic] не может быть значением арксинуса. В этом
случае
[pic]Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых
выбираются в различных полуокружностях.
4. Выражение арксинуса через арккосинус.
Пусть [pic], если [pic], то [pic]. Дуга имеет косинус, равный [pic], а
поэтому [pic]
При [pic]это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом
случае
[pic], а для функции [pic]имеем: [pic]
так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень [pic], т.е.
число неотрицательное.
Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:Х>0 X<0
При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и
[pic]
Таким образом, имеем окончательно:[pic]если [pic], (4)
[pic], если [pic]График функции [pic]
Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4),
закон соответствия можно выразить следующим образом:[pic], если [pic]
[pic], если [pic]5. Аналогично установим, что при [pic]имеем:
[pic], если же [pic], то
[pic]
Таким образом:
[pic] [pic], если [pic] (5)
[pic], если [pic]6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
[pic] при [pic]имеем:
[pic]
Если же х<0, то
[pic]
Итак,
[pic] [pic], если [pic] (6)
[pic], если [pic]7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если [pic], то [pic]
При [pic] имеем:
[pic]
Итак,
[pic] [pic], если [pic] (7)
[pic], если [pic]8. Выражение арктангенса через арккотангенс.
[pic] [pic], если х>0 (8)
[pic],если x<0При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
[pic].
9. Выражение арксинуса через арккотангенс.
[pic] [pic], если [pic] (9)
[pic], если [pic]10. Выражение арккотангенса через арксинус.
[pic] [pic], если 0<x (10)
[pic], если х<011. Выражение арккотангенса через арктангенс.
[pic] [pic], если x>0 (11)
[pic], если x<0Примеры:
Пример №1. Исследовать функцию [pic]
Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением
значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл).
Воспользовавшись формулой (8) получим:y= 0 , если x>0
-? , если x<0На чертеже изображен график
данной функцииПример №2. Исследовать функцию [pic]
Решение: Первое слагаемое определено для значений [pic], второе – для
тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).
Т.к. [pic], то получаем
[pic],
откуда:
[pic] на сегменте [0;1]Пример №3. Исследовать функцию [pic]
Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по
абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех
значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).
[pic]Приняв во внимание равенство
[pic] [pic], если [pic]
[pic], если [pic]получим:
y = 0 , если [pic]
[pic] , если [pic]Выполнение обратных тригонометрических операций над
тригонометрическими функциями.
При преобразовании выражений вида
[pic]
следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и
в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим,
например, первое из данных выражений:
[pic]
Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности
(замкнутая), синус которой равен sin x;
[pic] и [pic]
Областью определения функции [pic] служит интервал [pic], так как при
всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента
[pic]содержится на сегменте [pic]. При произвольном действительном х
значение y (в общем случае) отлично от значения х.
Так, например, при х=?/6 имеем:
[pic]
но при х=5?/6
[pic]
В силу периодичности синуса функция arcsin x также является
периодической с периодом 2?, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте
[-?/2; 3?/2] величиной 2?.
Если значение х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2] то y=x, на этом
сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
Если значение х принадлежит сегменту [?/2; 3?/2], то в этом случае
дуга ?-х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2]; и, так как
[pic], то имеем y=?-х;
в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=?-х. Если
значение х принадлежит сегменту [3?/2; 5?/2], то, пользуясь периодичностью
или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2?
Если значение х принадлежит сегменту [-3?/2; -?/2], то
y=-?-х
Если значение х принадлежит сегменту [-5?/2; -3?/2], то
y=х+2?
Вообще, если [pic], то
y=х-2?k
и если [pic], то
y=(?-х)+2?kГрафик функции [pic]представлен на рисунке. Это ломаная линия с
бесконечным множеством прямолинейных звеньев.Рассмотрим функцию [pic]
Согласно определению арккосинуса, имеем:
cos y = cos x, где [pic]
Областью определения данной функции является множество всех
действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2?. Если
значение Х принадлежит сегменту [0; ?], то y = x. Если х принадлежит
сегменту [?; 2?], то дуга 2?-х принадлежит сегменту [0; ?] и [pic],
поэтому:
[pic]
Следовательно, на сегменте [?; 2?] имеем y = 2? — x
Если х принадлежит сегменту [2?; 3?], то y = x — 2?
Если х принадлежит сегменту [3?; 4?], то y = 4? – xВообще, если [pic], то y = x — 2?k
Если же [pic], то y = -x + ?k
Графиком функции [pic]является ломаная линияФормулы сложения
Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или
нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма
аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую
операцию. (….) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена
посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних
и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от
промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
[pic]
Решение: эта сумма является суммой двух дуг ? и ?, где
[pic]; [pic]
В данном случае [pic] (т.к. [pic], а следовательно, [pic]), а также
[pic], поэтому [pic].
Вычислив синус дуги ?, получим:
[pic]
Т.к. сумма ? заключена на сегменте [-?/2; ?/2], то
[pic]Пример №2. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в
виде арктангенса. Имеем:
[pic]Откуда
[pic]Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму [pic]
Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга ?
оканчивается во второй четверти, т.к. [pic], а [pic]. Вычисляем [pic]
В рассматриваемом примере [pic], так как дуги ? и [pic]заключены в
различных интервалах,
[pic], а [pic]
В данном случае [pic]Пример №4. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в
виде арккосинуса.
Решение: имеем
[pic]Обе дуги ? и [pic]расположены в верхней полуокружности и имеют
одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: [pic]
Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи
произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы
сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных
рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения,
по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих
случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.
Пусть ? и ? – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до ?/2 (первая
четверть):
[pic], и [pic]
Сумма ? + ? заключена в верхней полуокружности [pic], следовательно,
ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том
же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
[pic];
[pic]
Разность ? – ? заключена в правой полуокружности: [pic]
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в
виде арктангенса:
[pic];
[pic]
Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента
заключено в интервале (0; ?/2) то сумму двух аркфункций от положительных
аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде
арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно
представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
1. Преобразуем в арккосинус [pic], где [pic] и [pic]
Имеем:
[pic]
Откуда
[pic]
2. Аналогично
[pic], где 0 < x < 1, 0 < y < 1
[pic], где 0 < x < 1, 0 < y < 1
[pic]
[pic]
[pic]Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
1. Выразить сумму [pic]через арксинус
По определению арксинуса
[pic] и [pic],
откуда
[pic]
Для дуги ? возможны следующие три случая:
Случай 1: [pic]
Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет
место случай 1.
В самом деле, при [pic]и [pic], имеем:
[pic], и [pic],
откуда
[pic]
При x > 0, y > 0 для дуги ? имеет место одна из следующих двух систем
неравенств:
а) [pic] б) [pic]
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от
другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
[pic] в случае а) и [pic] в случае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б)
влекут за собой взаимно исключающие следствия [pic] и
[pic](соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и
достаточными признаками наличия данных соотношений.
Вычислив [pic], получим:
[pic]
При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а)
т.е. [pic]или
[pic]
Откуда
[pic] и, следовательно, [pic]
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
[pic];
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а
потому
[pic] или [pic]Случай 2. [pic]
В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из
условия [pic]получим [pic]Случай 3. [pic]
Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и [pic]
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
[pic]
откуда [pic]
Дуги ? и [pic] имеют одинаковый синус, но (по определению
арксинуса) [pic], следовательно в случае 1 [pic];
в случае 2 [pic] и в случае 3 [pic].
Итак, имеем окончательно:
[pic] , [pic] или [pic]
[pic] [pic]; x > 0, y > 0, и [pic] (1)
[pic]; x < 0, y < 0, и [pic]Пример:
[pic]
[pic]; [pic]2. Заменив в (1) x на –x получим:
[pic] , [pic] или [pic]
[pic] [pic]; x > 0, y > 0, и [pic] (2)
[pic]; x < 0, y < 0, и [pic]3. Выразить сумму [pic]через арккосинус
[pic] и [pic]
имеем
[pic]
Возможны следующие два случая.
Случай 1: [pic]если [pic], то
[pic]
Приняв во внимание, что обе дуги [pic]и [pic]расположены в промежутке
[0;?] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
[pic]
и следовательно, [pic], откуда [pic]Случай 2: [pic]. Если [pic], то
[pic],
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим [pic].
Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если [pic],
а случай 2, если
[pic].
Из равенства [pic] следует, что дуги
[pic] и [pic] имеют одинаковый косинус.
В случае 1 [pic], в случае 2 [pic], следовательно,[pic] [pic], [pic]
[pic], [pic] (3)4. Аналогично
[pic] [pic], [pic]
[pic], [pic] (4)пример: [pic]
5.
[pic]; xy < 1
[pic] [pic]; x > 1, xy > 1 (5)
[pic]; x < 0, xy > 1
При xy=1 не имеет смысла6.
[pic]; xy > -1
[pic] [pic]; x > 0, xy < -1 (6)
[pic]; x < 0, xy < -17.
[pic]; [pic]
[pic] [pic]; [pic] (7)
[pic]; [pic]8.
[pic] [pic]; [pic] (8)
[pic]; [pic]9.
[pic]; [pic]
[pic] [pic]; x > 1 (9)
[pic]; x < -110. [pic] (10)
[pic] (11)
[pic] [pic] , если [pic] (12)
[pic], если [pic]————————
?/2-?/2
0
1
-1
[pic]
[pic]
-1
1
0
x
?/2
y
x
y
y
x
[pic]
-1
1
0
?/2
?
[pic]
y
x
-1
1
0
y
x
-?/4
-1
1
0
-?/2
?/2
x
y
0
0
y
x
1
-1
x
y
1
-1
arcsin(x)
arccos(x)
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
1
-1
[pic]
X
Y
[pic]
-?
?
X
Y
[pic]
-?
?
0
Х
Y
[pic]
