Глава 1
                   §1. Аксиоматика векторного пространства
      Характеризация векторного пространства, как  математической  структуры
осуществляются рядом аксиом.
       Основные   понятия   теории:   «вектор»,   «сумма   двух   векторов»,
«произведение вектора на действительное число».
        Косвенным   определением   основных   понятий   теории    векторного
пространства являются следующие аксиомы:
      I. Для любых векторов  [pic]  и  [pic]существует  единственный  третий
вектор [pic], называемый их суммой
                                    [pic]
      Таким образом аксиома I постулирует:
      а) единственность этой суммы.
      б) существование суммы двух векторов [pic] и [pic];
      Данная аксиома вводит на множестве векторов V операцию
                               f1:  V x V ( V.
которая называется сложением двух векторов.
      II. Сложение векторов коммутативно, т.е.
                                   [pic].
      III. Сложение векторов ассоциативно, т.е.
                                 [pic] [pic]
      IV. Существует вектор [pic]  такой,  что  [pic]  для  любого  вектора,
[pic] т.е.
                               [pic]    [pic]
      Определение 1.1. Вектор [pic], удовлетворяющий аксиоме IV,  называется
нулевым вектором и обозначается [pic]
      V. Для каждого  вектора  [pic]  существует  такой  вектор  [pic],  что
[pic]+[pic]=[pic] [pic][pic]
      Определение 1.2.  Вектор [pic], удовлетворяющий аксиоме V,  называется
противоположным вектору [pic].
      VI. Для любого вектора [pic] и действительно числа  [pic],  существует
единственный вектор [pic], называемый произведением вектора [pic]  на  число
[pic] и обозначаемый т.о.: [pic], т.е.
                             [pic], [pic], [pic]
   Данная аксиома вводит операция нового типа (внешнюю операцию):
                                    [pic]
Эта операция носит название «умножение вектора на число».
      VII. Для  любого  вектора  [pic]  умножение  вектора  [pic]  на  1  не
изменяет вектора [pic], т.е.
                                [pic], [pic]
      VIII. Умножение вектора на  число ассоциативно, т.е.
                             [pic], [pic], [pic]
      IX. Умножение вектора на число дистрибутивно сложения чисел, т.е.
                             [pic], [pic], [pic]
      X. Умножение вектора  на  число  дистрибутивно  относительно  сложения
векторов, т.е.
                             [pic], [pic], [pic]
      Этим заканчивается аксиоматика векторного пространства, которое можно
теперь определить т.о.:
      множество V с введенными двумя операциями
                                    [pic]
                                   [pic],
подчиняющееся аксиомам I-X, называется  векторным  пространством  над  полем
действительных чисел R.