Міністерство
освіти і науки України
Міжнародний
економіко-гуманітарний університет
ім.
Академіка С. Дем’янчука
ДОСЛІДЖЕННЯ
точності
впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичних
випробувань Монте Карло
					







Модель ППП 051- 1
Науковий
керівник:
кандидат
технічних наук,
доцент Р.М.
Літнарович
Рівне,
2007
Абрамович К.П. Дослідження
точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом
статистичних випробувань Монте Карло. Модель ППП О51 – 1.МЕГУ, Рівне, 2007, — 30с,
Рецензент: С.В. Лісова, доктор педагогічних наук, професор.
Відповідальний за випуск: Й.В. Джунь, доктор фізико-математичних наук,
професор.
На основі результатів психологічного експерименту побудована
математична модель залежності ситуативної тривожності на характеристики пам’яті
у вигляді кубічного поліному по способу найменших квадратів.
В даній роботі генеруються середні квадратичні похибки, які приводяться
до заданих нормованих, будується спотворена модель, зрівноважується по способу
найменших квадратів. Знаходяться ймовірніші значення коефіцієнтів а, в, с, d кубічного поліному апроксимуючої математичної
моделі.
Робиться оцінка точності і даються узагальнюючі висновки. Примінений
метод статистичних випробовувань Монте Карло дав можливість провести
широкомасштабні дослідження і набрати велику статистику.
Для студентів і аспірантів педагогічних вузів
© Абрамович К.П.


Передмова
За результатами психолого-педагогічного експерименту при дослідженні
впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті, будується математична
модель у вигляді поліному третього порядку.
Вихідними даними для проведення досліджень в даній роботі беруться
результати психолого-педагогічного експерименту – бали тесту самооцінки
тривожності по шкалі Спірбергера (Хі) і характеристики пам’яті –
кількість правильних відповідей на запитання вікторини (Уі).
За цими даними була побудована математична модель у вигляді поліному
третього порядку способом найменших квадратів. Дана модель приймалась за істинну
модель.
Генерувались випадкові числа, знаходився коефіцієнт пропорційності К і
дані випадкові числа приводилися до середньої квадратичної похибки 0,1 і 0,05,
що відповідає ціні найменшої поділки шкали Спірбергера і половині поділки даної
шкали.
Будується спотворена модель, яка зрівноважується по способу найменших
квадратів.
Дається оцінка точності елементів, зрівноважених процедурою способу
найменших квадратів. Робляться узагальнюючі висновки.


1. 
Представлення істинної моделі
За результатами строгого зрівноваження [6,c.33] отримана емпірична формула залежності характеристик пам’яті Х від
ситуативної тривожності У9(істинна модель)
у = — 4,717425 Х3 + 33,731505 Х2
– 85,78331 Х + 88,244437. (1.1)
Таблиця 1. Вихідні дані істинної моделі у
табличному вигляді [6,c.28]























Х
1,6
2
2,1
2,3
2,5
2,8
2,9
3
3,1
3,3


у
18,021
13,864
13,167
11,986
10,898
8,949
8,101
7,108
5,939
2,965



За даними табл.. 1 побудуємо точкову діаграму і графік
  
Рис.1. Точкова діаграма і графік
Побудувавши ймовірнішу модель по способу найменших квадратів і зробивши
оцінку точності її елементів, в подальшому необхідно провести дослідження
точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом
статистичних випробувань Монте Карло. Для цього необхідно генерувати істинні
похибки за допомогою генератора випадкових чисел.
2. Генерування істинних похибок для дослідження математичної моделі
методом статистичних випробувань Монте Карло
По шкалі Спірбергера [1] незалежні змінні
представляються з точністю 0,1. прийнято, що точність спостережень дорівнює
половині шкали.
Тому логічно генерувати випадкові похибки з точністю, яка б дорівнювала
0,05, тобто половині шкали з якою ми працюємо. Але поставимо перед собою задачу
ще дослідити математичні моделі з граничною точністю, яку приймемо вдвічі
більшу за 0,05, тобто рівну 0,1. При цьому непарні моделі генерують середню
квадратичну похибку 0,1, а парні – 0,05.
Сучасні калькулятори мають “вшиті” генератори для генерування
випадкових чисел від 0 до 1. але вони генерують числа тільки зі знаком “плюс”.
Приведемо методику розрахунку випадкових чисел, які приймемо в
подальшому як істинні похибки для побудови спотвореної моделі.
1. 
Отримавши ряд випадкових (а точніше
псевдовипадкових) чисел ξі , натиском клавіш К, Cч, розраховують середнє арифметичне
генерованих псевдовипадкових чисел ξір .
   (2.1)
де п – сума випадкових чисел.
2. 
Розраховуються попередні значення істинних похибок
Δ΄і за формулою
  , (2.2)
3. 
Знаходять середню квадратичну похибку попередніх
істинних похибок за формулою Гаусса
   , (2.3)
4. 
Вичисляють коефіцієнт пропорційності К для
визначення істинних похибок необхідної точності
   ,
(2.4)
де С – необхідна нормована константа.
Так, наприклад, при т Δ΄ = 0,28 і
необхідності побудови математичної моделі з точністю с=0,1, будемо мати
  ,
а при С=0,05, отримаємо К0,05= 0,05/0,28
=0,178
5. 
Істинні похибки розраховуються за формулою
  , (2.5)
6. 
Заключним контролем служить розрахунок середньої
квадратичної похибки т∆ генерованих істинних похибок ∆
   ,
(2.6)
і порівняння
   (2.7)
Таблиця 2. Генерування псевдовипадкових
чисел і розрахунок істинних похибок






















































































№ п/п

ξ і


— ξср


  


∆΄і2


   


∆і2



1
0,008
0,457
 — 0,449
0,20174
 — 0,207
0,04283629


2
0,39
0,457
 — 0,067
0,004457
 — 0,031
0,00094637


3
0,37
0,457
 — 0,087
0,007527
 — 0,04
0,00159833


4
0,78
0,457
0,3232
0,104484
0,149
0,02218548


5
0,47
0,457
0,0132
0,000175
0,0061
0,00003722


6
0,24
0,457
 — 0,217
0,046985
 — 0,100
0,00997656


7
0,46
0,457
0,0032
1,05E — 05
0,00149
0,00000223


8
0,61
0,457
0,1532
0,023482
0,071
0,00498610


9
0,5
0,457
0,0432
0,00187
0,01992
0,00039699


10
0,74
0,457
0,2832
0,080225
0,13052
0,01703443



П = 10

4,568
Суми
8E — 16
0,470955
3,6E — 16
0,10000000




Середня квадратична похибка попередніх істинних похибок
mΔ’  = (0,470955/10)0.5 =0,2170151.
Коефіцієнт пропорційності
   .
Середня квадратична похибка при генеруванні випадкових чисел з точністю
с=0,1
mΔ’ =(0.10000000/10)0.5 = 0.1000000.


Таблиця 3. Побудова спотвореної моделі






























































№ п/п


Істинна Хіст.


Модель Уіст.


∆іст.


Хспотв.



1
1,6
18,021
 — 0,207
1,393


2
2
13,864
 — 0,031
1,969


3
2,1
13,167
 — 0,04
2,060


4
2,3
11,986
0,149
2,449


5
2,5
10,898
0,0061
2,506


6
2,8
8,949
 — 0,100
2,700


7
2,9
8,101
0,00149
2,901


8
3
7,108
0,071
3,071


9
3,1
5,939
0,01992
3,120


10
3,3
2,965
0,13052
3,431


п = 10
25,6
100,998
3,6E — 16
25,600



По даним спотвореної моделі виконують строге зрівноваження методом
найменших квадратів і отримують ймовірніші моделі, яким роблять оцінку точності
зрівноважених елементів і дають порівняльний аналіз на основі якого заключають
на предмет поширення даної моделі для рішення проблеми в цілому.
3. 
Представлення системи нормальних рівнянь
В результаті проведеного експерименту ми маємо ряд результатів Хі
, Уі , функціональну залежність між якими будемо шукати за
допомогою поліному степені К, де коефіцієнти аі являються
невідомими.
Тоді, система нормальних рівнянь буде
па0 +а1[х]+а2[х2]+…+ат[хт]-
[у] = 0,
а0 [х]+а1[х2]+а2[х3]+…+ат[хт+1]-
[ху] = 0,  
а0 [х2]+а1[х3]+а2[х4]+…+ат[хт+1]-
[х2у] = 0,  (3.1)
 ………………………. 
а0 [хт]+а1[хт+1]+а2[хт+2]+…+ат[х2т]-
[хту] = 0, 
де знаком [ ] позначена сума відповідного елемента.
Для поліному третього порядку виду
y = ax3
+ bx2 + cx + d
(3.2)
система нормальних рівнянь буде
dn + c[x] + b[x2] + a[x3] — [y]
= 0,
d[x] + c[x2] + b[x3] + a[x4] — [xy]
= 0, (3.3)
d[x2] + c[x3] + b[x4] + a[x5]
— [x2y] = 0,
d[x3] + c[x4] + b[x5] + a[x6]
— [x3y] = 0,
або
a[x6] + b[x5] + c[x4] + d[x3]
– [x3y]= 0,
a[x5] + b[x4] + c[x3] + d[x2]
– [x2y]= 0, (3.4)
a[x4] + b[x3] + c[x2] + d[x] – [xy]
= 0,
a[x3]
+ b[x2]
+ c[x]
+ dn – [y]=
0,
В подальшому будемо рішати систему лінійних нормальних рівнянь (3.3)
або (3.4) одним із відомих в математиці способів.
4. 
Встановлення коефіцієнтів нормальних рівнянь
Приведемо розрахункову таблицю, на основі якої отримують коефіцієнти
нормальних рівнянь.


Таблиця 4. Розрахунок коефіцієнтів
нормальних рівнянь.















































































































№ п/п


xоп


yіст


x˚


x2


x3


x6


x5


x4



1
1,393
18,021
1
1,941
2,703
7,307
5,246
3,766


2
1,969
13,864
1
3,878
7,636
58,316
29,614
15,038


3
2,060
13,167
1
4,244
8,742
76,424
37,099
18,009


4
2,449
11,986
1
5,997
14,687
215,713
88,084
35,968


5
2,506
10,898
1
6,281
15,740
247,737
98,854
39,445


6
2,700
8,949
1
7,291
19,686
387,521
143,520
53,153


7
2,901
8,101
1
8,419
24,427
596,663
205,640
70,874


8
3,071
7,108
1
9,429
28,952
838,204
272,976
88,900


9
3,120
5,939
1
9,734
30,369
922,284
295,611
94,749


10
3,431
2,965
1
11,768
40,372
1629,884
475,113
138,496


n=10
25,600
100,998
10
68,980
193,314
4980,054
1651,756
558,398




Продовження таблиці 4.



















































№ п/п


х3у


х2у


ху



1
48,7148
34,97037
25,10381


2
105,8723
53,76312
27,3015


3
115,107
55,87662
27,1243


4
176,0406
71,88419
29,35309


5
171,5309
68,44533
27,31149


6
176,1661
65,24388
24,16335


7
197,8805
68,19956
23,50499


8
205,7891
67,01892
21,82591


9
180,3622
57,80981
18,52923


10
119,7025
34,89342
10,17148



n=10

1497,166
578,105
234,389




Параметр S розраховується
за формулою 
S= x+x2+x3+x0—y (4.1)
Таким чином, на основі проведених розрахунків нами отримана слідуюча
система нормальних рівнянь
10 d+25,6 c+68,980b+193,314a — 101=0,
25d+68,980c+193,314b+558,398a — 234,389=0,
68,980d+193,314c+558,398b+1651,756a — 578,105=0, (4.2)
193,314d+558,398c+1651,756b+4980,054a — 1496,166=0,
або
4980,054a+1651,756b +558,398c +193,314d — 1496,166=0,
1651,756a+558,398b +193,314c +68,980d — 578,105=0,
578,105a+100,998 b+68,980c+25,6d — 234,389=0, (4.3) 193,314a+68,980b+25,6c+10d — 101=0
5. 
Рішення системи лінійних рівнянь способом
Крамера
Нехай, маємо систему лінійних рівнянь
a11x1+a12x2+…+amxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
(5.1)
………………………..
an1x1+an2x2+…+annxn=bn.
Для того, щоб із цієї системи визначити невідомі хі ,
складемо із коефіцієнтів при невідомих визначних Δ, який називається
визначником системи рівнянь (5.1)




Δ=

а11 а12
……….. а1п
а21 а22
……….. а2п
…………………………………………
ап1 ап2
……….. апп



(5.2)




Помножимо ліву і праву частини рівності (5.2) на хі .
В лівій частині будемо мати Δ хі , в правій же частині
введемо у всі члени і –го стовпчика визначника акі
множник хі