Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Дата: 21.05.2016

		

Федеральное агентство по образованию

Всероссийский заочный финансово-экономический
институт

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Архангельск

2008

Условие задачи

По предприятиям лёгкой
промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема
выпуска продукции (Y, млн. руб.) от
объема капиталовложений (X, млн.
руб.).

Требуется:

1. Найти параметры
уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента
регрессии.

2. Вычислить остатки;
найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии ; построить график
остатков.

3. Проверить выполнение
предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку
значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент
детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти
среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить
прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение
фактора X составляет 80% от его максимального
значения.

7. Представить графически
фактические и модельные значения Y
точки прогноза.

8. Составить уравнения
нелинейной регрессии:

· 
Гиперболической;

· 
Степенной;

· 
Показательной.

Привести графики
построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей
найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние
относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и
сделать вывод.

Х 17 22 10 7 12 21 14 7 20 3
Y 26 27 22 19 21 26 20 15 30 13

регрессия
уравнение стьюдент фишер аппроксимация

Решение задачи.

1. Найти параметры
уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента
регрессии.

Для нахождения параметров
уравнения линейной регрессии Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  решим систему нормальных уравнений:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

n=10

x

y

x^2

xy

17 26 289 442
22 27 484 594
10 22 100 220
7 19 49 133
12 21 144 252
21 26 441 546
14 20 196 280
7 15 49 105
20 30 400 600
3 13 9 39

133

219

2161

3211

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Найдём параметры
уравнения линейной регрессии, используя надстройку «Мастер диаграмм» в Excel, тип диаграммы – точечная, выделяем
столбцы (А1:В11), выбираем команду «Добавить линию тренда», выбираем 2
последние команды:

— показывать уравнение на
диаграмме;

— поместить на диаграмму
величину достоверности аппроксимации.

Общий вид уравнения
регрессии имеет вид:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии коэффициент регрессии.

Величина коэффициента
регрессии ( Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии ) показывает, на сколько в
среднем изменяется значение результата с изменением фактора на 1 единицу. Т.о в
нашем случае, с увеличением объема капиталовложений (Х) на 1 млн.руб. объём
выпуска продукции (У) возрастает в среднем на 0,761 млн.руб. (рис. 1).

X

Y

17 26
22 27
10 22
7 19
12 21
21 26
14 20
7 15
20 30
3 13

а0=11,781

а1=0,761

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Рис. 1

2. Вычислить остатки;
найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии . Построить график
остатков.

Вычислим остатки по
формуле: Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

x

y

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

m

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

17 26 24,718 1,282 * 1,6435
22 27 28,523 — 1,523 1 2,3195
10 22 19,391 2,609 1 6,8069
7 19 17,108 1,892 0 3,5797
12 21 20,913 0,087 0 0,0076
21 26 27,762 — 1,762 0 3,1046
14 20 22,435 — 2,435 1 5,9292
7 15 17,108 — 2,108 0 44437
20 30 27,001 2,999 1 8,9940
3 13 14,064 — 1,064 * 1,1321

133

219

*

— 0,023

4

37,9608

Оценка дисперсии
остатков:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

По следующим данным
строим график остатков (рис. 2):

Y

Е(t)

26 1,282
27 — 1,523
22 2,609
19 1,892
21 0,087
26 — 1,762
20 — 2,435
15 — 2,108
30 2,999
13 — 1,064

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Рис. 2

3. Проверить
выполнение предпосылок МНК.

1. Случайный характер
остатков (критерий поворотных точек, критерий пиков):

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии ,

где n- количество наблюдений;

m – количество поворотных точек
(пиков).

Точка считается
поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  является поворотной точкой

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  является поворотной точкой

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  не является поворотной точкой

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  не является поворотной точкой

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  не является поворотной точкой

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  является поворотной точкой

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  не является поворотной точкой

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  является поворотной точкой.

m=4

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

m=4>2, следовательно неравенство
выполняется, свойство выполняется.

2. Независимость
значений остатков (отсутствие автокорреляции). Критерий Дарбина-Уотсона.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  

x

y

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

17 26 24,718 1,282 1,6435 *
22 27 28,523 — 1,523 2,3195 7,8680
10 22 19,391 2,609 6,8069 17,0734
7 19 17,108 1,892 3,5797 0,5141
12 21 20,913 0,087 0,0076 3,2580
21 26 27,762 — 1,762 3,1046 3,4188
14 20 22,435 — 2,435 5,9292 0,4529
7 15 17,108 — 2,108 4,4437 0,1069
20 30 27,001 2,999 8,9940 26,0814
3 13 14,064 — 1,064 1,1321 16,5080

133

219

*

— 0,023

37,9608

75,2816

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  сравниваем с двумя табличными: Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , следовательно, свойство
выполняется, остатки независимы.

3. Подчинение остатков
нормальному закону (
R/S критерий).

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Расчётный критерий
сравниваем с двумя табличными, если расчётный критерий попадает внутрь
табличного интервала, то свойство выполняется.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  (2,67;3,57)

1,216 < 2,67,
следовательно, свойство не выполняется, остатки не подчинены нормальному
закону.

4. Проверка равенства
М(Е)=0, средняя величина остатков равна 0 (критерий Стьюдента).

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Если Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  < Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , то свойство выполняется.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии 2,2281

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , следовательно, свойство
выполняется.

5. Гомоскедастичность
остатков
, то есть
дисперсия остатков ( Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии ) одинаково для
каждого значения Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии (остатки имеют
постоянную дисперсию).

Если дисперсия остатков
неодинакова, то имеет место гетероскедастичность.

Если предпосылки не
выполняются, то модель нужно уточнять. Применяем тест Голдфельд-Квандта:

1) 
упорядочить
(ранжировать) наблюдения по мере возрастания фактора «Х».

2) исключить d-средних наблюдений.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии ,

где n – количество наблюдений.

2) 
разделить
совокупность на две группы: с малыми и большими значениями «Х» и для каждой из
частей найти уравнение регрессии.

3) 
найти остаточную
сумму квадратов отклонений ( Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии ) для
каждого уравнения регрессии.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

4) 
применяют
критерий Фишера:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  

Если Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , то гетероскедастичность
имеет место, то есть пятая предпосылка не выполняется.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

X

Y

17 22
22 27
10 22
7 19
12 21
21 26
14 20
7 15
20 30
3 13

Упорядочим наблюдениям по
мере возрастания переменной Х:

X

Y

3 13
7 19
7 15
10 22

12

21

14

20

17 22
20 30
21 26
22 27

X5=12; Y5=21 и Х6=14; Y6=20
исключаем.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии ; n=10

x

y

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

3 13 9 12,517 0,483 0,2333
7 19 49 17,569 1,431 2,0478
7 15 49 17,569 — 2,569 6,5998
10 22 100 21,358 0,642 0,4122

27

69

207

*

— 0,013

9,2930

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

n=4

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

x

y

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

17 22 289 23,25 — 1,25 1,5625
20 30 400 26,25 3,75 14,0625
21 26 441 27,25 — 1,25 1,5625
22 27 484 28,25 — 1,25 4,5625

80

105

1614

*

0

18,75

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

n=4

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , так как Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , значит, пятая предпосылка выполняется,
следовательно, модель нужно адекватна.

4. Осуществить
проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью
t-критерия Стьюдента (α=0,05).

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии ;

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

x

y

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

17 26 289 24,718 1,282 1,6435 13,69
22 27 484 28,523 — 1,523 2,3195 75,69
10 22 100 19,391 2,609 6,8069 1,89
7 19 49 17,108 1,892 3,5797 39,9
12 21 144 20,913 0,087 0,0076 1,69
21 26 441 27,762 — 1,762 3,1046 59,29
14 20 196 22,435 — 2,435 5,9292 0,49
7 15 49 17,108 — 2,108 4,4437 39,69
20 30 400 27,001 2,999 8,9940 44,89
3 13 9 14,064 — 1,064 1,1321 106,09

133

219

2161

*

— 0,023

37,9608

392,1

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии   Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , следовательно, параметр Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  значим.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии   Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , следовательно, коэффициент
регрессии Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии значим.

Интервальная оценка:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

а0: 11,781 Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  2,31*1,617

а0: 11,781 Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  3,735

Нижняя граница: 11,781-3,735=8,046

Верхняя граница: 11,781+3,735=15,516

а0: (8,046 Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии 15,516), следовательно,
параметр а0 значим, так как в эти границы не попадает 0.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

а1: 0,761 Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  2,31*0,11

а1: 0,761 Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии 0,2541

Нижняя граница: 0,761-0,254=0,507

Верхняя граница: 0,761+0,254=1,015

а1: (0,507 Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии 1,015), следовательно,
коэффициент регрессии а1 значим, так как в эти границы не попадает 0.

5. Вычислить
коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью
F-критерия Фишера (α=0,05), найти
среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Для нахождения
коэффициента детерминации найдём коэффициент парной корреляции:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Проверяем значимость Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии по критерию Стьюдента:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , следовательно, Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии значим.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии =0,926, то есть связь между
переменными y и x очень тесная (то есть близко к 1) и прямая (так как больше
0).

Находим коэффициент
детерминации:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , то есть 85,8% — изменение объёма
выпуска продукции (зависимой переменной «y») происходит под влиянием объёма капиталовложений (фактора
«х», включённого в модель).

Значимость уравнения
регрессии по критерию Фишера:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , следовательно, уравнение регрессии
значимо, модель адекватна.

Средняя относительная
ошибка аппроксимации:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

x

y

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

17 26 24,718 1,282 0,0493
22 27 28,523 — 1,523 0,0564
10 22 19,391 2,609 0,1186
7 19 17,108 1,892 0,0996
12 21 20,913 0,087 0,0041
21 26 27,762 — 1,762 0,0678
14 20 22,435 — 2,435 0,1218
7 15 17,108 — 2,108 0,1405
20 30 27,001 2,999 0,1000
3 13 14,064 — 1,064 0,0818

133

219

*

— 0,023

0,7332

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Так как Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , значит модель не достаточно
точная.

F-критерий
намного больше табличного значения, коэффициент детерминации Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  очень близок к 1, а
относительная ошибка аппроксимации составляет 7,33%. На основании рассчитанных
критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.

6.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя
Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение
фактора
X составляет 80% от его максимального
значения.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии прогноз факторного признака (объема капиталовложений).

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  — точечный прогноз.

(17,6; 25,2) – точка
должна лежать на графике модели.

Интервальный прогноз:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  

25,2 Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии 1,86 Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии 1,81

25,2 Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии 3,37

Нижняя граница: 25,2-3,37=21,83

Верхняя граница: 25,2+3,37=28,57

То есть при уровне
значимости Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии =0,1, если прогнозное
значение фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 17,6,
точечный прогноз среднего значения «Y» по линейной модели составит 25,2. Доверительный интервал: 21,83 Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии 28,57.

7. Представить
графически фактические и модельные значения
Y точки прогноза рис. 3.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Рис. 3

8. Составить уравнения
нелинейной регрессии:

· 
Гиперболической;

· 
Степенной;

· 
Показательной.

Привести графики
построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных
моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние
относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и
сделать вывод.

Уравнение степенной
модели парной регрессии:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Для построения этой
модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведём
логарифмирование обеих частей уравнения:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Обозначим Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии . Тогда уравнение примет
вид Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии — линейное уравнение
регрессии.

Рассчитаем его параметры
(см. приложение).

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Получим уравнение
степенной модели регрессии:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Построим график (рис. 4):

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Рис. 4

Определим коэффициент
корреляции:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 57,5%
объясняется вариацией фактора X
(объёмом капиталовложений).

Средняя относительная
ошибка аппроксимации:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

В среднем расчётные
значения Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  для степенной модели
отличаются от фактических значений на 14,6%.

Коэффициент эластичности
для степенной модели регрессии:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить
на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,16%.

Уравнение
показательной модели парной регрессии:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Для построения этой
модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим
логарифмирование обеих частей уравнения:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Обозначим Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии . Тогда уравнение примет
вид Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии — линейное уравнение
регрессии.

Рассчитаем его параметры.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Перейдём к исходным
переменным x и y.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  

Построим график (рис. 5):

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Рис. 5

Определим индекс
корреляции:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 82,9%
объясняется вариацией фактора X
(объёмом капиталовложений).

Средняя относительная
ошибка аппроксимации:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

В среднем расчётные
значения Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  для степенной модели
отличаются от фактических значений на 9,5%.

Коэффициент эластичности
для показательной модели регрессии:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии , значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить
на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,49%.

Уравнение
гиперболической модели парной регрессии:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Произведём линеаризацию
модели путём замены Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии .

В результате получим
линейное уравнение:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Рассчитаем его параметры.

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Получим следующее
уравнение гиперболической модели:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Построим график (рис. 6):

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Рис. 6

Определим индекс
корреляции:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Связь между показателем y и фактором x можно достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 67,2%
объясняется вариацией фактора X
(объёмом капиталовложений).

Средняя относительная
ошибка аппроксимации:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

В среднем расчётные
значения Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии  для степенной модели
отличаются от фактических значений на 12,46%.

Коэффициент эластичности
для гиперболической модели регрессии:

Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии %, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение
зависимой переменной Y (объём выпуска
продукции) увеличится в среднем на 0,18%.

Сравним модели по
коэффициенту детерминации, коэффициенту эластичности и средней относительной
ошибке аппроксимации:

Модель парной регрессии Критерий

  Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

  Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

  Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии

Степенная 0,575 14,6% 0,16%
Показательная 0,829 9,5% 0,49%
Гиперболическая 0,672 12,5% 0,18%

Самое хорошее качество
имеет показательная модель. Коэффициент детерминации наиболее близок к 1
(вариация объёма капиталовложений на 82,9% объясняет вариацию объёма выпуска
продукции), наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации S=9,5% и среднее значение коэффициента
эластичности Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии .

Метки:
Автор: 

Опубликовать комментарий