Задание для выполнения
практической работы по дисциплине эконометрика
корреляция
регрессия гетероскедастичность
Работа включает в себя
анализ реальных экономических данных при помощи изученных эконометрических
моделей.
Работа должны быть
выполнена в соответствии со следующими этапами:
1) Рассчитайте
корреляцию между, экономическими показателями (не менее 5) из статистических
данных по выборке не менее 30 наблюдений (из Интернета, печатных источников или
Вашего предприятия). Интерпретируйте полученные данные.
					







2) Постройте линейную и
не линейную (на свой выбор) множественную регрессию. Определите теоретическое
уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели.
Определите значимость переменных, найдите среднюю ошибку аппроксимации (вручную
в экселе), коэффициент детерминации, линейные коэффициенты корреляции между
всеми членами регрессии, найти критерий Фишера, Т-статистику и т. д.
3) Проверьте модели на
отсутствие автокорреляции.
4) Проверка на
гетероскедастичность моделей.
5) Сравните модели
между собой выберете лучшую
Работа выполняется на
листах формата А4, с титульным листом и обязательными выводами по работе. Решение:
Сбор данных из интернет – источников получены данные средней продолжительности
жизни, ВВП в паритетах покупательной способности, темпы прироста
населения по сравнению с предыдущим годом, %; темпы прироста рабочей силы по сравнению
с предыдущим годом, %; коэффициент младенческой смертности. Изучим
зависимость продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 2005
г., представленным в табл.1.
Таблица
1. Обзор социальных показателей стран третьего мира.







































































































































































































Страна
У
Х1
Х2
Х3
Х4


Мозамбик
47
3,0
2,6
2,4
113


Бурунди
49
2,3
2,6
2,7
98


Чад
48
2,6
2,5
2,5
117


Непал
55
4,3
2,5
2,4
91


Буркина-Фасо
49
2,9
2,8
2,1
99


Мадагаскар
52
2,4
3,1
3,1
89


Бангладеш
58
5,1
2,0
2,1
79


Гаити
57
3,4
2,0
1,7
72


Мали
50
2,0
2,9
2,7
123


Нигерия
53
4,5
2,9
2,8
80


Кения
58
5,1
2,7
2,7
58


Того
56
4,2
3,0
2,8
88


Индия
62
5,2
1,8
2,0
68


Бенин
50
6,5
2,9
2,5
95


Пакистан
68
7,4
3,1
4,0
46


Мавритания
59
7,4
2,8
2,7
73


Зимбабве
47
4,9
3,1
2,8
124


Гондурас
60
8,3
2,9
3,3
90


Китай
51
5,7
2,5
2,7
96


Камерун
57
7,5
2,4
2,2
55


Конго
67
7,0
3,0
3,8
45


Шри-Ланка
69
10,8
1,1
1,1
34


Египет
57
7,8
2,9
3,1
56


Индонезия
51
7,6
2,9
2,6
90


Филиппины
72
12,1
1,3
2,0
16


Марокко
63
14,2
2,0
2,7
56


Папуа — Новая
64
14,1
1,6
2,5
51


Гвинея
66
10,6
2,2
2,7
39


Гватемала
65
12,4
2,0
2,6
55


Эквадор
57
9,0
2,3
2,3
64


Доминиканская Республика
66
12,4
2,9
3,5
44


Ямайка
69
15,6
2,2
3,2
36



Принятые в таблице обозначения:
у — средняя
продолжительность жизни, лет;
х1 — ВВП в
паритетах покупательной способности, млрд. долл.;
х2 — темпы
прироста населения по сравнению с предыдущим годом, %;
х3 — темпы
прироста рабочей силы по сравнению с предыдущим годом;
х4 —
коэффициент младенческой смертности, %с.
1.        
Корреляционный
анализ 
Корреляционный
анализ проводился с использованием компьютерной программы EXCEL
с помощью пакета анализа данных
Таблица
2. Корреляционная зависимость продолжительности жизни от различных факторов.






























У


Х1


Х2


Х3


Х4



У
1


Х1
0,7782
1


Х2
 — 0,524
 — 0,49
1


Х3
0,1123
0,096
0,6963
1


Х4
 — 0,928
 — 0,763
0,523
 — 0,032
1



На
основании полученных данных можно сделать вывод, что наибольшее влияние на
продолжительность жизни оказывает фактор Х1- ВВП
в паритетах покупательной способности, у остальных факторов
наблюдается слабый корреляционный отклик.
3.
Для выбора наилучшей регрессионной функции необходимо ее проанализировать по
набору критериев: коэффициенты попарной корреляции, коэффициенты множественной
корреляции, критерий Фишера, статистики Стьюдента.
Строим регрессионную
функцию по всем регрессорам, использую при этом пакет анализа данных MS
Excel «Регрессия»
Таблица 3.
Регрессионная статистика











Множественный R
0,9546


R-квадрат
0,9112


Нормированный R-квадрат
0,8981


Стандартная ошибка
2,3541


Наблюдения
32



Пояснения к таблице 2. Регрисеонная статистика
содержит строки, характеризующие построенное уравнение регрессии:
Для парной регрессии Множественный R равен
коэффициенту корреляции (rxу). Множественный
коэффициент корреляции R
определяется
как коэффициент корреляции между наблюдаемыми значениями Yi
и
расчетными, прогнозируемыми значениями. По его значению 0,9546 можно сказать,
что между X
и
Y существует сильная линейная
зависимость.
Строка R–квадрат равна
коэффициенту корреляции в квадрате, он близок к 1, это означает что данная
модель хорошо описывает данные
Нормированный R–квадрат
рассчитывается с учетом степеней свободы числителя (n — 2) и знаменателя (n — 1) по
формуле: 
  
Стандартная ошибка (S)
регрессии вычисляется по формуле 1.4.
  
Последняя строка содержит количество выборочных
данных (n). Значимость уравнения в целом оценивается с помощью F-критерия
Фишера
  
Если найденное значение
F больше табличного для уровня
значимости α и степеней свободы (n-m — 1)
и
m, то с
вероятность 1 — α
делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом. 
Таблица 4
Дисперсионный анализ























df


SS


MS


F


Значимость F



Регрессия
4
1535,9
383,97
69,285
8,42972E — 14


Остаток
27
149,63
5,5418


Итого
31
1685,5



Пояснения к таблице дисперсионного анализа: число регрессоров m = 4 число n-m — 1 = 27, где n – число наблюдений
Для уровня значимости α
= 0,05
и при степенях свободы 4, 27 табличное значение критерия Фишера Fтаб
= 2,71.
Значение F
=69,285 существенно
превышает табличное, что говорит о статистической значимости уравнения в целом.
Таблица 5 Коэффициенты
регрессии










































Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
P-Значение
Нижние 95%
Верхние 95%


Y-пересечение
72,846
3,4746
20,965
3E — 18
65,717
79,976


Х1
0,0031
0,1929
0,0163
0,9871
 — 0,3925
0,3989


Х2
 — 6,173
1,9298
 — 3,199
0,0035
 — 10,132
 — 2,213


Х3
5,1218
1,5086
3,395
0,0021
2,02631
8,2173


Х4
 — 0,18
0,0258
 — 6,98
2E — 07
 — 0,2326
 — 0,127



В столбце «Коэффициенты»
получены коэффициенты уравнения регрессии. 
Коэффициент b0=
72,846 в Таблице анализа – это Y-пересечение. Таким образом, получили
уравнение регрессии: 
У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4
Коэффициент b1=0,0013
показывает, что при увеличении ВВП на 1 млр. дол. Средняя продолжительность
жизни увеличивается в среднем на 0,0031 лет, увеличение темпов прироста населения на 1%,.
приводит в среднем уменьшению продолжительности жизни на 6,173 лет, увеличение темпов прироста рабочей силы на 1% приводит к
увеличению продолжительности жизни на 5,122 лет, а увеличение коэффициента
младенческой смертности, на 1% ведет к уменьшению средней
продолжительности жизни на 0,18 лет. 
Стандартные ошибки mi,
t-статистики ti
могут
быть вычислены по формулам
  
  
Где σY
— среднее квадратическое отклонение для отклика Y,
σXi — среднее квадратическое отклонение
для регрессора Xi (X1,
X2, …)R2— коэффициент детерминации для уравнения
множественной регрессии,   —
коэффициент детерминации для зависимости отклика Y
от всех регрессоров кроме Xi,  — коэффициент детерминации
для зависимости Xi от всех
регрессоров кроме Xi.
Табличные t–критерии
Стьюдента зависят от принятого уровня значимости и от числа степеней свободы (n-m — 1).
Если вычисленные значения t–критерия
превышают табличные, то говорят, что соответствующий коэффициент регрессии
является статистически значимым и на него можно опираться в анализе и прогнозе.
Более того, используя
табличное значение t-критерия
и стандартную ошибку mi
коэффициента регрессии bi можно
с вероятностью 1 — α сделать вывод о том, что истинное значение
коэффициента регрессии попадет в интервал (bi –
tтаб*mi
, bi +
tтаб*mi).
Они составляют:
m(X1)
=0.192, m(X2) =1,9289, m(X3) =1,5086, m(X4) =0.0258,
m(y) =3.4746
t(X1)
=0.0163, t(X2) = — 3.199, t(X3) =3.395, t(X4) = — 6.98,
t(y) =20.965
Табличное значение t–критерия
Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы 27 tтаб
=2,051.
Коэффициенты
t- статистики
при регрессорах Х1 , Х2 и Х4 меньше t
таб., и
согласно t–критерию не являются
статистически значимыми.
По величине Р-значения
возможно определять значимость коэффициентов, не находя критическое значение t-статистики.
Если значение t-статистики велико, то соответствующее значение
вероятности значимости мало – меньше 0,05, и можно считать, что коэффициент
регрессии значим. И наоборот, если значение t-статистики мало,
соответственно вероятность значимости больше 0,05 – коэффициент считается
незначимым. 
Для коэффициентов b0,
b2, b3, b4 значения
вероятности близко к нулю, следовательно, b1 можно
считать значимым, b1- близко к единице,
коэффициент не значим.
Далее представлены
доверительные интервалы (нижняя и верхняя границы) для рассчитанных
коэффициентов.
Таблица 6 Расчет
относительной ошибки аппроксимации










































































































































































Страна
У
у ожидаемое
остатки E
остатки/у


Мозамбик
47
48,735
 — 1,73
0,0369


Бурунди
49
52,969
 — 3,97
0,081


Чад
48
49,143
 — 1,14
0,0238


Непал
55
53,316
1,68
0,0306


Буркина-Фасо
49
48,485
0,52
0,0105


Мадагаскар
52
53,552
 — 1,55
0,0299


Бангладеш
58
57,027
0,97
0,0168


Гаити
57
56,234
0,77
0,0134


Мали
50
46,617
3,38
0,0677


Нигерия
53
54,877
 — 1,88
0,0354


Кения
58
59,56
 — 1,56
0,0269


Того
56
52,819
3,18
0,0568


Индия
62
59,73
2,27
0,0366


Бенин
50
50,647
 — 0,65
0,0129


Пакистан
68
65,915
2,08
0,0307


Мавритания
59
56,25
2,75
0,0466


Зимбабве
47
45,724
1,28
0,0272


Гондурас
60
55,648
4,35
0,0725


Китай
51
53,956
 — 2,96
0,058


Камерун
57
59,399
 — 2,40
0,0421


Конго
67
65,687
1,31
0,0196


Шри-Ланка
69
65,577
3,42
0,0496


Египет
57
60,742
 — 3,74
0,0657


Индонезия
51
52,062
 — 1,06
0,0208


Филиппины
72
72,195
 — 0,20
0,0027


Марокко
63
64,082
 — 1,08
0,0172


Папуа — Новая
64
66,61
 — 2,61
0,0408


Гвинея
66
66,082
 — 0,08
0,0012


Гватемала
65
63,929
1,07
0,0165


Эквадор
57
58,912
 — 1,91
0,0335


Доминиканская Республика
66
64,964
1,04
0,0157


Ямайка
69
69,197
 — 0,20
0,0029


сумма
1,0424


средняя ошибка аппроксимации 
3,2574



Средняя ошибка
аппроксимации показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических и
рассчитывается по формуле:
  
Средняя ошибка
аппроксимации составляет 3,2574 %. Это значит, что качество тренда, исходя из
относительных отклонений по каждому наблюдения, признается хорошим, так в норме
средняя ошибка аппроксимации колеблется в пределах до 10%
3) Проверка модели на
отсутствие автокорреляции
Автокорреляция
(последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми
показателями
При проверке
независимости значений ei определяется отсутствие в остаточном ряду автокорреляции,
под которой понимается корреляция между элементами одного и того же числового
ряда. В нашем случае автокорреляция — это корреляция ряда e1, e2, e3 … с
рядом eL+1, eL+2, eL+3 Число L характеризует запаздывание (лаг). Корреляция
между соседними членами ряда (т.е. когда L = 1) называется автокорреляцией
первого порядка. Далее для остаточного ряда будем рассматривать зависимость
между соседними элементами ei.
Наличие автокорреляции
может быть выявлено при помощи d-критерия Дарбина-Уотсона. Значение критерия
вычисляется по формуле:
  
Таблица 7. Расчет
критерия d — Дарбина-Уотсона










































































































































Страна
остатки E

(Ei –Ei — 1)2


Ei2



Мозамбик
 — 1,73
3,01
3,01


Бурунди
 — 3,97
4,9903
15,75


Чад
 — 1,14
7,9868
1,31


Непал
1,68
7,9914
2,84


Буркина-Фасо
0,52
1,3661
0,27


Мадагаскар
 — 1,55
4,2746
2,41


Бангладеш
0,97
6,3751
0,95


Гаити
0,77
0,0428
0,59


Мали
3,38
6,8497
11,44


Нигерия
 — 1,88
27,662
3,52


Кения
 — 1,56
0,1
2,43


Того
3,18
22,484
10,12


Индия
2,27
0,8299
5,15


Бенин
 — 0,65
8,5083
0,42


Пакистан
2,08
7,46
4,35


Мавритания
2,75
0,4422
7,56


Зимбабве
1,28
2,1712
1,63


Гондурас
4,35
9,4605
18,94


Китай
 — 2,96
53,41
8,74


Камерун
 — 2,40
0,3109
5,75


Конго
1,31
13,775
1,72


Шри-Ланка
3,42
4,4504
11,71


Египет
 — 3,74
51,337
14,01


Индонезия
 — 1,06
7,1856
1,13


Филиппины
 — 0,20
0,7508
0,04


Марокко
 — 1,08
0,7854
1,17


Папуа — Новая
 — 2,61
2,3372
6,81


Гвинея
 — 0,08
6,3933
0,01


Гватемала
1,07
1,3285
1,15


Эквадор
 — 1,91
8,8971
3,66


Доминиканская Республика
1,04
8,6895
1,07


Ямайка
 — 0,20
1,5193
0,04


сумма
283,18
149,69


критерий d
1,8918



В
таблице значений критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% при m=4и n=32
критические значения d1=1.14,
d2=1,74, 
В
нашем расчете значение d-критерия попадает в интервал от d2 до 2,
автокорреляция отсутствует.
4)
Проверка на гетероскедастичность моделей с использованием теста Бреуша-Пагана
Для
этого проверки на гетероскедастичность воспользуемся таблицами 6 и 7
Затем строим регрессию, в
которой за зависимую переменную берется столбец квадратов остатков еi2, а за
зависимые переменные – переменные Х1, Х2, Х3, Х4, 
Результат
представлен в таблицах 8,9,10
Таблица 8. Регрессионная статистика











Множественный R
0,222046


R-квадрат
0,049305


Нормированный R-квадрат
 — 0,09154


Стандартная ошибка
5,309145


Наблюдения
32
























Таблица 9. Дисперсионный
анализ





df


SS


MS


F


Значимость F



Регрессия
4
39,4692
9,867301
0,35006
0,841652584


Остаток
27
761,0497
28,18702


Итого
31
800,5189



Таблица 10.
Коэффициенты регресси











































Коэффиц
иенты

Стандартная ошибка
t-статистика
P-Значение
Нижние 95%
Верхние 95%


Y-пересечение
3,561922
7,836107
0,454552
0,65306
 — 12,516
19,6402


Х1
 — 0,21277
0,434968
 — 0,48916
0,62868
 — 1,1052
0,67971


Х2
 — 2,64445
4,352113
 — 0,60762
0,54851
 — 11,574
6,28535


Х3
2,473815
3,402388
0,727082
0,47343
 — 4,5073
9,45493


Х4
0,036775
0,058082
0,633148
0,53196
 — 0,0824
0,15595



Найдена статистика:
Х2наб
= nR2=32*0.049305=1,578
Так как
Х2набл=1,578< Х2крит =9,48,
То гипотеза о гетероскедастичности
отвергается и модель считается гомоскедастичной. 
Критическое значение
распределения Хи-квадрат найдено с помощью действий: fx→Статистические→ХИ2ОБР(m),
где m – число переменных, входящих в уравнение регрессии (в данном
случае 6).
5) Сравните модели
между собой выберете лучшую.
Как уже отмечалось ранее
по величине Р-значения возможно определять значимость коэффициентов, не
находя критическое значение t-статистики. Если значение t-статистики
велико, то соответствующее значение вероятности значимости мало – меньше 0,05,
и можно считать, что коэффициент регрессии значим. И наоборот, если значение t-статистики
мало, соответственно вероятность значимости больше 0,05 – коэффициент считается
незначимым. 
Для коэффициентов b0,
b2, b3, b4 полученных
при регрессионном анализе в п.4 значения вероятности близко к 1, следовательно,
данные коэффициенты не значимы.
Таким образом, модель
выраженная уравнением
У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4
Выводы
Проанализировав данные
зависимости средней продолжительности жизни в странах третьего мира ВВП, темпы прироста населения, темпы прироста рабочей силы и коэффициент
младенческой смертности можно сделать ряд выводов:
1.        
В результате проведенного корреляционного анализа наибольшее
влияние на
среднюю продолжительность жизни оказывает ВВП, у остальных
факторов наблюдается слабый корреляционный отклик.
2.        
В
ходе регрессионного анализа было получено уравнение зависимости:
У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4
При этом коэффициент b1=0,0013
показывает, что при увеличении ВВП на 1 млрд. дол. средняя продолжительность
жизни увеличивается в среднем на 0,0031 лет, увеличение темпов прироста населения на 1%,.
приводит в среднем уменьшению продолжительности жизни на 6,173 лет, увеличение темпов прироста рабочей силы на 1% приводит к увеличению
продолжительности жизни на 5,122 лет, а увеличение коэффициента младенческой
смертности, на 1% ведет к уменьшению средней
продолжительности жизни на 0,18 лет. 
3.        
По
значению коэффициента множественной корреляции регрессии равным 0,9546 можно сказать, что между факторными и
результативными признаками существует сильная линейная зависимость.
4.        
Значение
F =69,285 существенно
превышает табличное, что говорит о статистической значимости уравнения в целом.
5.        
 Табличное
значение t–критерия Стьюдента при
уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы 27 tтаб
=2,051.
Коэффициенты
t- статистики
при регрессорах Х1 , Х2 и Х4 меньше t
таб., и
согласно t–критерию не являются
статистически значимыми.
6. Средняя ошибка
аппроксимации составляет 3,2574 %. Это значит, что качество тренда, исходя из
относительных отклонений по каждому наблюдения, признается хорошим, так в норме
средняя ошибка аппроксимации колеблется в пределах до 10%
7.
В таблице значений критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% при m=4и n=32
критические значения d1=1.14,
d2=1,74, В нашем расчете значение
d-критерия = 1,89 попадает в интервал от d2 до 2, значит автокорреляция
отсутствует.
8. Проверка на
гетероскедастичность моделей проводилась с использованием теста Бреуша-Пагана.
Тест показал гетероскедастичность отсутствует и модель считается
гомоскедастичной. 
Список используемой
литературы
1.        
Эконометрика:
Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576
с.
2.        
Практикум по
эконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и
статистика, 2006. – 344 с.
3.        
Эконометрика:
Учебно-методическое пособие / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань:
Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008. – 198 с.
4.        
Практикум по
эконометрике с применение MS Excel / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань:
Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008 – 53 с.
5.        
Прикладная
статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. – Т. 1. Айвазян
С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с.
6.        
Прикладная
статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. – Т. 2. Айвазян
С.А. Основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 432 с.
7.        
Эконометрика:
Учебник / Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. –
512 с
8.        
Берндт Э. Р.
Практика эконометрики: классика и современность: Учебник для студентов вузов. –
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 863 с.
9.        
Эконометрика:
учебное пособие / А.В. Гладилин, А.Н. Герасимов, Е.И. Громов. – М.: КНОРУС,
2008. – 232 с.
10.     
Введение в
эконометрику: учебное пособие / Л.П. Яновский, А.Г. Буховец. – М.: КНОРУС,
2009. – 256 с.
11.     
Луговская Л.В.
Эконометрика в вопросах и ответах: учебное пособие. – М.: ТК Велби, Изд-во
Проспект, 2006. – 208 с.