Рынок вторичного жилья

Дата: 21.05.2016

		

Исходные данные
о продаже квартир на вторичном рынке жилья

№ п/п y

x1

x2

Задание

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

22.5

26

18.5

13.2

25.8

17

18

21

14.5

23

19.5

14.2

13.3

16.1

13.516

29

35

28

30

51

38

30

32

27

39

29.5

29

30

30.8

28

31

15

10

10

25

10

12

15

20

10

5

15

12

5

10

25

10

y – цена квартиры
(тыс.$);

x1 – жилая площадь(кв.
м);

x2 – время пути до метро
(мин).

По имеющимся
статистическим данным

отдельно для пар (у,х1)
и (у,х2) найти:

а) уравнение линейной
регрессии;

б) коэффициент
корреляции;

в) среднюю величину у при
х1=35 (х2=12);

г) 95% доверительные
интервалы для

индивидуального и
среднего значения у;

д) с надежностью 0.95
интервальные оценки коэффициента регрессии b1 и дисперсии s2;

е) коэффициент
детерминации.

Оценить на уровне 0.05
значимость

уравнения регрессии.

Сделать анализ
полученных результатов.

Табличные
значения стандартных функций распределения:

t0.05,14 = 2.145 F0.05,1,14 = 4.6

c20.025,14 =26.1 c20.975,14 =5.63

1. Парная
регрессия y на
x1.

а) Найти
уравнение линейной регрессии для x1.

№ п/п

yi

xi

y2

x2

x * y

xi Рынок вторичного жилья

(xi Рынок вторичного жилья )2

1 22,5 29 506,25 841 652,5 — 3,3 10,89
2 26 35 676 1225 910 2,7 7,29
3 18,5 28 342,25 784 518 — 4,3 18,49
4 13,2 30 174,24 900 396 — 2,3 5,29
5 25,8 51 665,64 2601 1315,8 18,7 349,69
6 17 38 289 1444 646 5,7 32,49
7 18 30 324 900 540 2,3 5,29
8 21 32 441 1024 672 — 0,3 0,09
9 14,5 27 210,25 729 391,5 — 5,3 28,09
10 23 39 529 1521 897 6,7 44,89
11 19,5 29,5 380,25 870,25 575,25 — 2,8 7,84
12 14,2 29 201,64 841 411,8 — 3,3 10,89
13 13,3 30 176,89 900 399 — 2,3 5,29
14 16,1 30,8 259,21 948,64 495,88 — 1,5 2,25
15 13,5 28 182,25 784 378 — 4,3 18,49
16 16 31 256 961 496 — 1,3 1,69
Сумма 292,1 517,3 5613,87 17273,89 9694,73 548,95
Средняя 18,2 32,3 350,9 1079,6 605,9 34,3

Таким
образом, выборочные средние значения Рынок вторичного жилья = 32,3; Рынок вторичного жилья = 18,2; Рынок вторичного жилья = 605,9;

выборочная
дисперсия Рынок вторичного жилья = 34,3;

выборочная
ковариация cov(x,y) = Рынок вторичного жилья = 605,9-32,3*18,2 = 18,04;

Коэффициенты
регрессии b1= Рынок вторичного жилья = Рынок вторичного жилья = 0,53

Рынок вторичного жилья = 18,2 – 0,53*32,3 = 1,08

При
увеличении жилой площади на 1 кв.м цена квартиры в среднем возрастает на 0,53
тыс.$.

Уравнение
регрессии Рынок вторичного жилья = 1,08 + 0,53 * x.

б) рассчитать
коэффициент корреляции

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

Между величиной
жилой площади квартиры и ценной квартиры наблюдается умеренная положительная
зависимость.

в) определить
среднюю величину y при x1=35.

Рынок вторичного жилья

Средняя цена
квартиры при жилой площади 35 кв.м составляет 19.63 тыс.$. Промежуточные
вычисления для последующих расчетов проводим в таблице.

№ п/п

yi

xi

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

1

22,5 29 16.45 6.05 36.60 4.3 18.49

2

26 35 19.63 6.37 40.58 7.8 60.84

3

18,5 28 15.92 2.58 6.66 0.3 0.09

4

13,2 30 16.98 — 3.78 14.29 — 5.0 25.00

5

25,8 51 28.11 — 2.31 5.34 7.6 57.76

6

17 38 21.22 — 4.22 17.81 — 1.2 1.44

7

18 30 16.98 1.02 1.04 — 0.2 0.04

8

21 32 18.04 2.96 8.76 2.8 7.84

9

14,5 27 15.39 — 0.89 0.79 — 3.7 13.69

10

23 39 21.75 1.25 1.56 4.8 23.04

11

19,5 29,5 16.72 2.78 7.73 1.3 1.69

12

14,2 29 16.45 — 2.25 5.06 — 4.0 16.00

13

13,3 30 16.98 — 3.68 13.54 — 4.9 24.01

14

16,1 30,8 17.40 — 1.30 1.69 — 2.1 4.41

15

13,5 28 15.92 — 2.42 5.86 — 4.7 22.09

16

16 31 17.51 — 1.51 2.28 — 2.2 4.84

Сумма

292,1 517,3 169.59 281.27

Средняя

18,2 32,3 17.58

г) найти 95%
доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

С учетом
значений из обеих таблиц:

Остаточная
дисперсия Рынок вторичного жилья

Дисперсия
среднего значения Рынок вторичного жилья   Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья Рынок вторичного жилья = 0.920

Стандартное
отклонение Рынок вторичного жилья Рынок вторичного жилья

Дисперсия
индивидуального значения y0 Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

Стандартное
отклонение y0 Рынок вторичного жилья

Для
доверительной вероятности g=0,95 уровень значимости a = 1-g = 0,05.

Табличное
значение t-распределения
Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней
свободы k
= n — 2 =16-2 =14 составляет t0.05,8 = 2,31.

Доверительный
интервал для среднего значения Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

19.63 – 2.145×0.96 £ y £ 19.63 + 2.145×0.96

17.57£ y £ 21.69

Доверительный
интервал для индивидуального значения Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

19.63 – 2.145×3.61 £ y0 £ 19.63 + 2.145×3.61

11.89 £ y0 £ 27.37

С
учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с площадью 35 кв.м с вероятностью
95% лежит в пределах от 17,57 до 21,69 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры
колебаться от 11,89 до 27,37 тыс.$.

д) с
надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии b1 и дисперсии возмущений s2.

Дисперсия
коэффициента регрессии Рынок вторичного жилья = Рынок вторичного жилья = 0.022

Стандартное
отклонение Рынок вторичного жилья

Доверительный
интервал для коэффициента регрессии b1

Рынок вторичного жилья

0.53–2.145×0.148 £ b1 £ 0.53+ 2.145×0.148

0.21 £ b1 £ 0.85

С надежностью
0,95 увеличение площади квартиры на 1 кв.м приводит к увеличению цены квартиры
на величину от 0,21 до 0,85 тыс.$.

Табличные
значения распределения c2 Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа
степеней свободы 14 составляют

Рынок вторичного жилья ; Рынок вторичного жилья

Доверительный
интервал дисперсии возмущений

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

7,42 £ s2 £ 34,42

Интервал для
стандартного отклонения 2,72 £ s £ 5,87.

С
надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 7,42 до
34,42, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в
пределах от 2,72 до 5,87.

Оценить на
уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

Общая сумма
квадратов отклонений y Рынок вторичного жилья = 281,27

Остаточная
сумма квадратов Рынок вторичного жилья = 169,59

Сумма
квадратов, объясненная регрессией Рынок вторичного жилья =
281,27–169,59 = 111,68

Величина F-критерия

Рынок вторичного жилья = 9,23,

где m – число параметров
(коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

Табличное
значение F-распределения
Фишера для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m — 1=1 составляет F0,05,1,14=4,6.

Так как
расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии y по x1 следует признать
значимым, т.е. заслуживающим доверия.

Определим
коэффициент детерминации.

Рынок вторичного жилья 0,40

Вариация
зависимой переменной (цены квартиры) на 40% определяется фактором x –площадью квартиры.

2. Парная
регрессия y на
x2.

а) Найти
уравнение линейной регрессии для x2.

№ п/п

yi

xi

y2

x2

x * y

xi
Рынок вторичного жилья

(xi Рынок вторичного жилья )2

1 22,5 15 506,25 225 337,5 1,9 3,61
2 26 10 676 100 260 — 3,1 9,61
3 18,5 10 342,25 100 185 — 3,1 9,61
4 13,2 25 174,24 625 330 11,9 141,61
5 25,8 10 665,64 100 258 — 3,1 9,61
6 17 12 289 144 204 — 1,1 1,21
7 18 15 324 225 270 1,9 3,61
8 21 20 441 400 420 6,9 47,61
9 14,5 10 210,25 100 145 1,9 3,61
10 23 5 529 25 115 — 8,1 65,61
11 19,5 15 380,25 225 292,5 1,9 3,61
12 14,2 12 201,64 144 170,4 — 1,1 1,21
13 13,3 5 176,89 25 66,5 — 8,1 65,61
14 16,1 10 259,21 100 161 — 3,1 9,61
15 13,5 25 182,25 625 337,5 11,9 141,61
16 16 10 256 100 160 — 3,1 9,61
Сумма 292,1 209 5613,87 3263 3712,4 526,96
Средняя 18,2 13,1 350,9 203,94 232,025 32,9

Таким
образом, выборочные средние значения Рынок вторичного жилья = 13,1; Рынок вторичного жилья = 18,2; Рынок вторичного жилья = 232,025;

выборочная
дисперсия Рынок вторичного жилья = 32,9;

выборочная
ковариация cov(x,y) = Рынок вторичного жилья = 232,025-13,1*18,2 = — 6,4;

Коэффициенты
регрессии b1= Рынок вторичного жилья = Рынок вторичного жилья = — 0,19

Рынок вторичного жилья = 18,2 – ( — 0,19)*13,1 = 20,7

При
увеличении времени пути до метро на 1 мин. цена квартиры в среднем снижается на
0,19 тыс.$.

Уравнение
регрессии Рынок вторичного жилья = 20,7 – 0,19 * x.

б) рассчитать
коэффициент корреляции

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

Между временем
пути до метро от квартиры и ценной квартиры наблюдается слабая отрицательная
зависимость.

в) определить
среднюю величину y при x2=12.

Рынок вторичного жилья

Средняя цена
квартиры при времени пути до метро 12 минут составляет 19.63 тыс.$.

Промежуточные
вычисления для последующих расчетов проводим в таблице

№ п/п

yi

xi

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

1

22,5 15 17,85 4,65 21,62 4.3 18.49

2

26 10 18,80 7,2 51,84 7.8 60.84

3

18,5 10 18,80 — 0,3 0,09 0.3 0.09

4

13,2 25 15,95 — 2,75 7,56 — 5.0 25.00

5

25,8 10 18,80 7,0 49,0 7.6 57.76

6

17 12 18,42 — 1,42 2,02 — 1.2 1.44

7

18 15 17,85 0,15 0,02 — 0.2 0.04

8

21 20 16,90 4,1 16,81 2.8 7.84

9

14,5 10 18,80 — 4,3 18,49 — 3.7 13.69

10

23 5 19,75 3,25 10,56 4.8 23.04

11

19,5 15 17,85 1,65 2,72 1.3 1.69

12

14,2 12 18,42 — 4,22 17,81 — 4.0 16.00

13

13,3 5 19,75 — 6,45 41,60 — 4.9 24.01

14

16,1 10 18,80 — 2,7 7,29 — 2.1 4.41

15

13,5 25 15,95 — 2,45 6,003 — 4.7 22.09

16

16 10 18,80 — 2,8 7,84 — 2.2 4.84

Сумма

292,1 209 261,27 281.27

Средняя

18,2 13,1 17.58

г) найти 95%
доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.

С учетом
значений из обеих таблиц:

Остаточная
дисперсия Рынок вторичного жилья

Дисперсия
среднего значения Рынок вторичного жилья   Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья Рынок вторичного жилья = 1,21

Стандартное
отклонение Рынок вторичного жилья Рынок вторичного жилья

Дисперсия
индивидуального значения y0 Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

Стандартное
отклонение y0 Рынок вторичного жилья

Для
доверительной вероятности g=0,95 уровень значимости a = 1-g = 0,05.

Табличное
значение t-распределения
Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней
свободы k
= n — 2 =16-2 =14 составляет t0.05,8 = 2,31.

Доверительный
интервал для среднего значения Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

18,42 – 2,145×1,1 £ y £ 18,42 + 2,145×1,1

16,06£ y £ 20,78

Доверительный
интервал для индивидуального значения Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

18,42 – 2,145×4,46 £ y0 £ 18,42 + 2,145×4,46

8,85 £ y0 £ 27,99

С
учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с временем пути до метро 12 минут
с вероятностью 95% лежит в пределах от 16,06 до 20,78 тыс.$; при этом отдельно
цена квартиры колебаться от 8,85 до 27,99 тыс.$.

д) с
надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии b1 и дисперсии возмущений s2.

Дисперсия
коэффициента регрессии Рынок вторичного жилья = Рынок вторичного жилья = 0.035

Стандартное
отклонение Рынок вторичного жилья

Доверительный
интервал для коэффициента регрессии b1

Рынок вторичного жилья

— 0,19–2,145×0,187 £ b1 £ — 0,19 + 2,145×0,187

0,59£ b1 £ 0,21

С надежностью
0,95 увеличение времени пути до метро на 1 минуту приводит к увеличению цены
квартиры на величину от – 0,59 до 0,21 тыс.$.

Табличные
значения распределения c2 Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа
степеней свободы 14 составляют

Рынок вторичного жилья ; Рынок вторичного жилья

Доверительный
интервал дисперсии возмущений

Рынок вторичного жилья

Рынок вторичного жилья

11,44 £ s2 £ 53,03

Интервал для
стандартного отклонения 3,38 £ s £ 7,28.

С
надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 11,44 до
53,03, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в
пределах от 3,38 до 7,28.

Оценить на
уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.

Общая сумма
квадратов отклонений y Рынок вторичного жилья = 281,27

Остаточная
сумма квадратов Рынок вторичного жилья = 261,27

Сумма
квадратов, объясненная регрессией Рынок вторичного жилья =
281,27–261,27 = 20

Величина F-критерия

Рынок вторичного жилья = 1,07,

где m – число параметров
(коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.

Табличное
значение F-распределения
Фишера для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m — 1=1 составляет F0,05,1,14=4,6.

Так как
расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии y по x1 следует признать
значимым, т.е. заслуживающим доверия.

Определим
коэффициент детерминации.

квартира
стоимость регрессия вариация

Рынок вторичного жилья 0,07

Вариация
зависимой переменной (цены квартиры) на 7% определяется фактором x –временем пути до метро.

Метки:
Автор: 

Опубликовать комментарий